(a) Usando o resultado do Problema 14, demonstrar que os inteiros não nulos módulo p, sendo p um número primo, constitui um grupo com a multiplicação \bmod p.
(b) Fazer a parte (a) para os inteiros não nulos relativamente primos com n, com a multiplicação \bmod n.

Passo 1

O enunciado pede duas demonstrações semelhantes, então vou listar claramente o que cada item quer e quais informações tenho:
  • (a) Pedem provar que "os inteiros não nulos módulo p", sendo p primo, constituem um grupo para a operação multiplicação \bmod p. Ou seja, considerar o conjunto
G_p=\{[a]_p \mid a\in\mathbb{Z},\; a\not\equiv0\pmod p\}
com a operação [a]_p\cdot[b]_p=[ab]_p, e mostrar que isso satisfaz os axiomas de grupo.
  • (b) Pedem provar o análogo quando em vez de p primo se toma um inteiro n arbitrário: o conjunto dos inteiros não nulos que são relativamente primos com n,
U_n=\{[a]_n \mid \gcd(a,n)=1\},
com a operação [a]_n\cdot[b]_n=[ab]_n, é um grupo.
Informações úteis que já posso usar:
  • Do enunciado: em (a) posso usar o “resultado do Problema 14” (vou usar a forma comum desse resultado: para p primo, todo a com p\nmid a tem inverso multiplicativo módulo p).
  • Posso usar propriedades básicas da multiplicação inteira (associatividade, distributividade, etc.) e o lema de Bezout: se \gcd(a,n)=1 então existem inteiros x,y tais que ax+ny=1.

Passo 2

Vou lembrar o que significa ser grupo e quais propriedades preciso verificar. Um conjunto G com uma operação \star é grupo se satisfaz quatro axiomas:
  1. Fechamento: para todo u,v\in G, tem-se u\star v\in G.
  2. Associatividade: para todo u,v,w\in G, (u\star v)\star w = u\star (v\star w).
  3. Existência de elemento identidade: existe e\in G tal que e\star u = u\star e = u para todo u\in G.
  4. Existência de inversos: para todo u\in G existe u^{-1}\in G tal que u\star u^{-1}=u^{-1}\star u = e.
No nosso caso a operação é multiplicação de classes residuais módulo m (com m=p ou m=n). Associatividade e identidade virão fácil da multiplicação inteira; os pontos que exigem cuidado e explicação são fechamento e existência de inversos (principalmente inversos quando n não é primo). Vou tratar (a) e (b) seguindo essas quatro propriedades passo a passo.

Passo 3

(a) Fechamento para G_p (caso p primo).
Queremos mostrar: se a\not\equiv0\pmod p e b\not\equiv0\pmod p então ab\not\equiv0\pmod p (ou seja, [ab]_p\in G_p).
Prova curta e didática: se por absurdo ab\equiv0\pmod p então p\mid ab. Como p é primo, a propriedade dos primos dá que p\mid a ou p\mid b. Isso contradiz a hipótese de que a e b são não nulos módulo p. Logo ab\not\equiv0\pmod p e o produto está no conjunto. Portanto o conjunto é fechado sob multiplicação \bmod p.

Passo 4

(a) Associatividade e identidade para G_p.
  • Associatividade: a multiplicação de inteiros é associativa: (ab)c = a(bc) para inteiros a,b,c. Passando para classes módulo p obtemos
([a]_p\cdot[b]_p)\cdot[c]_p = [ab]_p\cdot[c]_p = [abc]_p = [a]_p\cdot[bc]_p = [a]_p\cdot([b]_p\cdot[c]_p).
Portanto a operação é associativa em G_p.
  • Identidade: a classe [1]_p satisfaz [1]_p\cdot[a]_p=[a]_p\cdot[1]_p=[a]_p para toda classe [a]_p. Assim [1]_p é o elemento neutro.

Passo 5

(a) Inversos em G_p (a parte que usa o Problema 14).
Pelo enunciado devo usar o resultado do Problema 14. Esse resultado usualmente afirma que, para p primo e todo inteiro a com p\nmid a, existe um b tal que
ab\equiv1\pmod p.
Isto é exatamente a existência do inverso multiplicativo de [a]_p. Assim, para cada [a]_p\in G_p existe um [b]_p\in G_p tal que [a]_p\cdot[b]_p=[1]_p. (Se for necessário, pode-se obter b usando Bezout porque \gcd(a,p)=1 quando p\nmid a.)
Portanto todo elemento de G_p tem inverso em G_p.

Passo 6

(a) Conclusão do item (a).
Juntando os pontos:
  • fechamento (Passo 3),
  • associatividade (Passo 4),
  • identidade (Passo 4),
  • existência de inversos (Passo 5),
conclui-se que G_p é um grupo para a multiplicação \bmod p. Em linguagem comum: as classes não nulas módulo p formam o grupo multiplicativo (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}.
Uma pequena ilustração para fixar a ideia: para p=5 o conjunto é \{[1]_5,[2]_5,[3]_5,[4]_5\}. Aqui [2]_5\cdot[3]_5=[6]_5=[1]_5, ou seja, [3]_5 é inverso de [2]_5, etc.

Passo 7

(b) Fechamento para U_n (inteiros com \gcd(a,n)=1).
Precisamos mostrar: se \gcd(a,n)=1 e \gcd(b,n)=1 então \gcd(ab,n)=1. Prova por primos (direta e intuitiva): se existir um primo q que divide \gcd(ab,n), então q\mid n e q\mid ab. Como q é primo, q divide a ou q divide b. Mas isso contradiz \gcd(a,n)=1 e \gcd(b,n)=1 (pois nenhum dos dois pode ter um primo em comum com n). Logo não existe tal primo q, e \gcd(ab,n)=1. Assim o produto de duas classes de U_n permanece em U_n: fechamento garantido.

Passo 8

(b) Associatividade e identidade para U_n.
  • Associatividade: igual ao caso anterior, vem da associatividade da multiplicação inteira. Em classes:
([a]_n\cdot[b]_n)\cdot[c]_n = [abc]_n = [a]_n\cdot([b]_n\cdot[c]_n).
  • Identidade: [1]_n é o elemento neutro porque [1]_n\cdot[a]_n=[a]_n para todo [a]_n. E [1]_n\in U_n pois \gcd(1,n)=1.

Passo 9

(b) Inversos em U_n (uso de Bezout).
Se \gcd(a,n)=1, pelo lema de Bezout existem inteiros x,y tais que
ax+ny=1.
Da congruência obtemos ax\equiv1\pmod n. Então a classe [x]_n é inverso multiplicativo de [a]_n. Falta ver que [x]_n pertence mesmo a U_n (ou seja, que \gcd(x,n)=1); isso é verdadeiro porque se algum primo q divide n e x então da congruência ax\equiv1\pmod n teríamos ax\equiv1\pmod q, o que é impossível (pq 1\not\equiv0\pmod q). Mais diretamente: se ax\equiv1\pmod n então \gcd(x,n)=1 pois qualquer divisor comum de x e n dividiria ax e n, e daí dividiria 1, absurdo. Logo [x]_n\in U_n. Assim todo elemento de U_n tem inverso em U_n.

Passo 10

(b) Conclusão do item (b).
Juntando:
  • fechamento (Passo 7),
  • associatividade (Passo 8),
  • identidade (Passo 8),
  • existência de inversos (Passo 9),
conclui-se que U_n é um grupo para a multiplicação \bmod n. Esse grupo é comumente chamado de grupo dos unidades multiplicativas de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, notado (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}.

Resposta

(a) O conjunto dos inteiros não nulos módulo p (com p primo), com a multiplicação \bmod p, é um grupo.
(b) O conjunto dos inteiros cujos representantes são relativamente primos com n, com a multiplicação \bmod n, é um grupo (o grupo das unidades de \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}).

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