(a) Usando o resultado do Problema 14, demonstrar que os inteiros não nulos módulo
, sendo
um número primo, constitui um grupo com a multiplicação
.
(b) Fazer a parte (a) para os inteiros não nulos relativamente primos com
, com a multiplicação
.
(b) Fazer a parte (a) para os inteiros não nulos relativamente primos com
Passo 1
O enunciado pede duas demonstrações semelhantes, então vou listar claramente o que cada item quer e quais informações tenho:
- (a) Pedem provar que "os inteiros não nulos módulo
", sendo primo, constituem um grupo para a operação multiplicação . Ou seja, considerar o conjunto
com a operação
, e mostrar que isso satisfaz os axiomas de grupo.
- (b) Pedem provar o análogo quando em vez de
primo se toma um inteiro arbitrário: o conjunto dos inteiros não nulos que são relativamente primos com ,
com a operação
, é um grupo.
Informações úteis que já posso usar:
- Do enunciado: em (a) posso usar o “resultado do Problema 14” (vou usar a forma comum desse resultado: para
primo, todo com tem inverso multiplicativo módulo ). - Posso usar propriedades básicas da multiplicação inteira (associatividade, distributividade, etc.) e o lema de Bezout: se
então existem inteiros tais que .
Passo 2
Vou lembrar o que significa ser grupo e quais propriedades preciso verificar. Um conjunto
com uma operação
é grupo se satisfaz quatro axiomas:
- Fechamento: para todo
, tem-se . - Associatividade: para todo
, . - Existência de elemento identidade: existe
tal que para todo . - Existência de inversos: para todo
existe tal que .
No nosso caso a operação é multiplicação de classes residuais módulo
(com
ou
). Associatividade e identidade virão fácil da multiplicação inteira; os pontos que exigem cuidado e explicação são fechamento e existência de inversos (principalmente inversos quando
não é primo). Vou tratar (a) e (b) seguindo essas quatro propriedades passo a passo.
Passo 3
(a) Fechamento para
(caso
primo).
Queremos mostrar: se
e
então
(ou seja,
).
Prova curta e didática: se por absurdo
então
. Como
é primo, a propriedade dos primos dá que
ou
. Isso contradiz a hipótese de que
e
são não nulos módulo
. Logo
e o produto está no conjunto. Portanto o conjunto é fechado sob multiplicação
.
Passo 4
(a) Associatividade e identidade para
.
- Associatividade: a multiplicação de inteiros é associativa:
para inteiros . Passando para classes módulo obtemos
Portanto a operação é associativa em
.
- Identidade: a classe
satisfaz para toda classe . Assim é o elemento neutro.
Passo 5
(a) Inversos em
(a parte que usa o Problema 14).
Pelo enunciado devo usar o resultado do Problema 14. Esse resultado usualmente afirma que, para
primo e todo inteiro
com
, existe um
tal que
Isto é exatamente a existência do inverso multiplicativo de
. Assim, para cada
existe um
tal que
. (Se for necessário, pode-se obter
usando Bezout porque
quando
.)
Portanto todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 6
(a) Conclusão do item (a).
Juntando os pontos:
- fechamento (Passo 3),
- associatividade (Passo 4),
- identidade (Passo 4),
- existência de inversos (Passo 5),
conclui-se que
é um grupo para a multiplicação
. Em linguagem comum: as classes não nulas módulo
formam o grupo multiplicativo
.
Uma pequena ilustração para fixar a ideia: para
o conjunto é
. Aqui
, ou seja,
é inverso de
, etc.
Passo 7
(b) Fechamento para
(inteiros com
).
Precisamos mostrar: se
e
então
. Prova por primos (direta e intuitiva): se existir um primo
que divide
, então
e
. Como
é primo,
divide
ou
divide
. Mas isso contradiz
e
(pois nenhum dos dois pode ter um primo em comum com
). Logo não existe tal primo
, e
. Assim o produto de duas classes de
permanece em
: fechamento garantido.
Passo 8
(b) Associatividade e identidade para
.
- Associatividade: igual ao caso anterior, vem da associatividade da multiplicação inteira. Em classes:
- Identidade:
é o elemento neutro porque para todo . E pois .
Passo 9
(b) Inversos em
(uso de Bezout).
Se
, pelo lema de Bezout existem inteiros
tais que
Da congruência obtemos
. Então a classe
é inverso multiplicativo de
. Falta ver que
pertence mesmo a
(ou seja, que
); isso é verdadeiro porque se algum primo
divide
e
então da congruência
teríamos
, o que é impossível (pq
). Mais diretamente: se
então
pois qualquer divisor comum de
e
dividiria
e
, e daí dividiria
, absurdo. Logo
. Assim todo elemento de
tem inverso em
.
Passo 10
(b) Conclusão do item (b).
Juntando:
- fechamento (Passo 7),
- associatividade (Passo 8),
- identidade (Passo 8),
- existência de inversos (Passo 9),
conclui-se que
é um grupo para a multiplicação
. Esse grupo é comumente chamado de grupo dos unidades multiplicativas de
, notado
.
Resposta
(a) O conjunto dos inteiros não nulos módulo
(com
primo), com a multiplicação
, é um grupo.
(b) O conjunto dos inteiros cujos representantes são relativamente primos com , com a multiplicação
, é um grupo (o grupo das unidades de
).
(b) O conjunto dos inteiros cujos representantes são relativamente primos com