- Se
, escreva por extenso e simplifique:
e)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para escrever por extenso e simplificar a expressão
Informações relevantes fornecidas:
;
a expressão envolve as substituições e
em
;
presumimos que é a unidade imaginária, isto é,
a expressão envolve as substituições
presumimos que
Passo 2
Substituímos
por
em
. Faço a substituição diretamente no expoente:
Agora reescrevo o expoente separando os termos constantes e os que dependem de
:
Aqui usei a propriedade de exponenciais
, aplicando com
e
.
Passo 3
Agora substituímos
por
:
Simplificando o sinal no expoente:
De novo usei
para separar o fator
.
Passo 4
Formo a expressão pedida juntando os dois resultados:
Faço fator comum
no numerador:
Passo 5
Agora usamos uma identidade fundamental da exponenciação complexa (vinda da fórmula de Euler): para qualquer
,
e
Somando as duas igualdades obtemos a identidade útil
Esta identidade diz que a soma de exponenciais complexas conjugadas dá o dobro do cosseno real.
Passo 6
Aplicamos a identidade do passo anterior com
. Assim
Substituo isso na expressão do passo 4:
Passo 7
Corto o fator
no numerador com o
do denominador, ficando: