1. Se g(t)=7 e^{-2 t-3}, escreva por extenso e simplifique:
    e) \frac{g(j t)+g(-j t)}{2}

Passo 1

O enunciado dá a função \,g(t)=7e^{-2t-3}\, e pede para escrever por extenso e simplificar a expressão
\frac{g(jt)+g(-jt)}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
\,g(t)=7e^{-2t-3}\,;
a expressão envolve as substituições t\mapsto jt e t\mapsto -jt em g;
presumimos que j é a unidade imaginária, isto é, \,j^2=-1.

Passo 2

Substituímos t por jt em g(t). Faço a substituição diretamente no expoente:
g(jt)=7e^{-2(jt)-3}.
Agora reescrevo o expoente separando os termos constantes e os que dependem de t:
g(jt)=7e^{-3}e^{-2jt}.
Aqui usei a propriedade de exponenciais \,e^{a+b}=e^a e^b, aplicando com a=-3 e b=-2jt.

Passo 3

Agora substituímos t por -jt:
g(-jt)=7e^{-2(-jt)-3}.
Simplificando o sinal no expoente:
g(-jt)=7e^{-3}e^{2jt}.
De novo usei \,e^{a+b}=e^a e^b para separar o fator e^{-3}.

Passo 4

Formo a expressão pedida juntando os dois resultados:
\frac{g(jt)+g(-jt)}{2}=\frac{7e^{-3}e^{-2jt}+7e^{-3}e^{2jt}}{2}.
Faço fator comum 7e^{-3} no numerador:
\frac{g(jt)+g(-jt)}{2}=\frac{7e^{-3}\bigl(e^{-2jt}+e^{2jt}\bigr)}{2}.

Passo 5

Agora usamos uma identidade fundamental da exponenciação complexa (vinda da fórmula de Euler): para qualquer \,x,
e^{jx}= \cos x + j\sin x
e
e^{-jx}= \cos x - j\sin x.
Somando as duas igualdades obtemos a identidade útil
e^{jx}+e^{-jx}=2\cos x.
Esta identidade diz que a soma de exponenciais complexas conjugadas dá o dobro do cosseno real.

Passo 6

Aplicamos a identidade do passo anterior com x=2t. Assim
e^{2jt}+e^{-2jt}=2\cos(2t).
Substituo isso na expressão do passo 4:
\frac{g(jt)+g(-jt)}{2}=\frac{7e^{-3}\cdot 2\cos(2t)}{2}.

Passo 7

Corto o fator 2 no numerador com o 2 do denominador, ficando:
\frac{g(jt)+g(-jt)}{2}=7e^{-3}\cos(2t).

Resposta

7e^{-3}\cos(2t)

Exercícios relacionados