1. Se g(t)=7 e^{-2 t-3}, escreva por extenso e simplifique:
    c) g((t / 10)+4)

Passo 1

O enunciado dá a função g definida por \,g(t)=7 e^{-2 t-3}\, e pede para escrever por extenso e simplificar a expressão \,g\bigl((t/10)+4\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função original é \,g(t)=7 e^{-2 t-3}\,.
  • O argumento que devemos avaliar é \,(t/10)+4\,.
  • A tarefa é substituir esse argumento na função e simplificar o resultado.

Passo 2

Regra de substituição (explicação didática): quando temos uma função \,g(t)\, e queremos calcular \,g(h)\, para algum h (que pode ser uma expressão em t), fazemos a substituição do input da função pelo h. Ou seja, onde aparece t em g(t) colocamos (h).
Exemplo simples para fixar a ideia: se \,g(t)=2t+1\, e queremos g(3x), então fazemos g(3x)=2(3x)+1. Mesma ideia aqui, só que com exponencial.

Passo 3

Aplicando essa substituição ao nosso caso: substituímos t por (t/10)+4 na definição de g. Escrevendo isso explicitamente temos:
g\!\bigl((t/10)+4\bigr)=7 e^{-2\bigl((t/10)+4\bigr)-3}.

Passo 4

Agora vamos simplificar o expoente passo a passo. Primeiro distribuímos o -2 sobre a soma \,(t/10)+4\,:
-2\bigl((t/10)+4\bigr) = -2\cdot(t/10) + (-2)\cdot 4.
Calcule cada termo:
-2\cdot(t/10) = -\frac{2t}{10} = -\frac{t}{5},
(-2)\cdot 4 = -8.

Passo 5

Juntando os termos do expoente e lembrando do -3 que já estava na função, obtemos:
-2\bigl((t/10)+4\bigr)-3 = -\frac{t}{5} -8 -3 = -\frac{t}{5} -11.
Portanto a expressão fica
g\!\bigl((t/10)+4\bigr)=7 e^{-\frac{t}{5}-11}.

Passo 6

Usamos uma propriedade importante das exponenciais para escrever de forma ainda mais clara: \,e^{a+b}=e^{a}e^{b}\,. Aplicando aqui com a=-11 e b=-\tfrac{t}{5}, temos
e^{-\frac{t}{5}-11}=e^{-11}\,e^{-\frac{t}{5}}.
Logo podemos reescrever a função como produto de uma constante e uma exponencial que depende de t:
g\!\bigl((t/10)+4\bigr)=7\,e^{-11}\,e^{-\frac{t}{5}}.
Observação: 7e^{-11} é apenas uma constante (número), então outra forma comum de apresentar é \bigl(7e^{-11}\bigr)e^{-t/5}.

Passo 7

Recapitulando de forma bem prática: fizemos substituição do argumento, distribuímos a multiplicação no expoente, somamos constantes, e usamos a propriedade da exponencial para separar fatores. Essas são as ferramentas que você precisa lembrar em prova para transformar g(\text{algo}) quando g tem exponenciais.

Resposta

7 e^{-11-\tfrac{t}{5}}

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