g) y^prime prime+y=2 e^x onde y(0)=y^prime(0)=1.

Passo 1

Beleza, temos a equação diferencial
y'' + y = 2e^x
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar a solução homogênea, uma particular e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro a solução homogênea. A equação homogênea é
yh'' + yh = 0
A característica é
r^2 + 1 = 0,
cuja raiz é r=pm i. Logo
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Agora a solução particular. Como o termo forçante é 2e^x, chutamos
yp(x) = A e^x
Então
yp' = A e^x, yp'' = A e^x
Substituindo em y''+y=2e^x
A e^x + A e^x = 2A e^x = 2e^x
logo 2A=2 e A=1. Assim
yp(x) = e^x

Passo 4

A solução geral fica
y(x) = C1cos x + C2sin x + e^x
Para achar C1,C2, calculamos
y'(x) = -C1sin x + C2cos x + e^x
Em x=0:
y(0)=C1 + 0 +1 =1implies C1=0,
y'(0)=0 + C2 +1 =1implies C2=0

Resposta

y(x)=e^x

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