• Pode fazer a lápis. Destacar a resposta em caneta.
  • Não é permitido o uso de calculadoras e celulares.
    Usando o método das frações parciais calcule
integral d xx^3+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método das frações parciais. O enunciado pede para calcular integral dxx^3+x^2. A gente vai precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 + x^2. A gente percebe que x^2 é um fator comum:
x^3 + x^2 = x^2(x + 1)
Então, a integral fica:
integral dxx^2(x + 1)

Passo 3

Agora, vamos usar o método das frações parciais para decompor 1x^2(x + 1). A ideia é escrever essa fração como a soma de frações mais simples:
1x^2(x + 1) = Ax + Bx^2 + Cx + 1
Onde A, B e C são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 4

Para encontrar A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação por x^2(x + 1):
1 = A x (x + 1) + B (x + 1) + C x^2
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
1 = A x^2 + A x + B x + B + C x^2
1 = (A + C)x^2 + (A + B)x + B

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + C = 0 A + B = 0 B = 1
Resolvendo o sistema:
  • De B = 1, já temos B.
  • De A + B = 0, substituindo B:
A + 1 = 0 Rightarrow A = -1
  • De A + C = 0, substituindo A:
-1 + C = 0 Rightarrow C = 1

Passo 6

Agora que temos A = -1, B = 1 e C = 1, substituímos na decomposição das frações parciais:
1x^2(x + 1) = -1x + 1x^2 + 1x + 1
Então, a integral fica:
integral ( -1x + 1x^2 + 1x + 1 ) dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x dx = -ln|x|
integral 1x^2 dx = -1x
integral 1x + 1 dx = ln|x + 1|

Resposta

Somando tudo, a integral é:
integral dxx^3+x^2 = -ln|x| - 1x + ln|x + 1| + C
Onde C é a constante de integração.

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