[G1, G2] Encontre a derivada da função
f(x)=tan ^4(2 x)4 x^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=tan^4(2x)4x^4
O conteúdo principal envolve regra do produto (ou quociente), potência e regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos f(x) destacando o fator constante e a potência de x:
f(x)=14,tan^4(2x),x^-4

Passo 3

Aplicamos a regra do produto a
u(x)=tan^4(2x), v(x)=x^-4,
lembrando do fator tfrac14:
f'(x)=14l(u'(x),v(x)+u(x),v'(x)r)

Passo 4

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia em tan^4(2x):
primeiro ddt(t^4)=4t^3 com t=tan(2x),
depois ddxtan(2x)=sec^2(2x)cdot2.
Logo,
u'(x)=4tan^3(2x),l(sec^2(2x)cdot2r) =8,tan^3(2x),sec^2(2x)

Passo 5

Derivamos v(x)=x^-4 pela regra da potência:
v'(x)=-4,x^-5

Passo 6

Substituímos u'(x) e v'(x) na expressão de f'(x):
f'(x) =14l(8tan^3(2x)sec^2(2x),x^-4 -4tan^4(2x),x^-5r)

Passo 7

Fatoramos x^-5 e tan^3(2x) para simplificar:
f'(x) =14l(8x,tan^3(2x)sec^2(2x) -4tan^4(2x)r)x^-5 =l(2x,tan^3(2x)sec^2(2x)-tan^4(2x)r)x^-5

Resposta

f'(x)=2x,tan^3(2x),sec^2(2x)-tan^4(2x)x^5

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