Scjam f(x, y, z)=x c^y+y c^z+z c^x, P(0,0,0), v=(2,-1,2).
2. a) Encontre a derivada direcional de f(x, y, z) no pnto P na direção do vetor v.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x,c^y+y,c^z+z,c^x,
o ponto P=(0,0,0) e o vetor de direção vec v=(2,-1,2).
Queremos a derivada direcional de f em P na direção de vec v.
Para isso vamos usar que
Dvec vf(P)=nabla f(P)cdot u,
onde u=vec v/|vec v| é o vetor unitário nessa direção.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = c^y + z,c^xln c, partial fpartial y = x,c^yln c + c^z, partial fpartial z = y,c^zln c + c^x

Passo 3

Agora avaliamos em P=(0,0,0). Como c^0=1 e x,y,z=0, temos
partial fpartial x(0,0,0)=1, partial fpartial y(0,0,0)=1, partial fpartial z(0,0,0)=1
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nabla f(0,0,0)=(1,1,1)

Passo 4

Encontramos o vetor unitário na direção de vec v:
|vec v|=raiz2^2+(-1)^2+2^2=raiz9=3,
u=13(2,-1,2)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
Dvec vf(P)=nabla f(P)cdot u =(1,1,1)cdot13(2,-1,2) =2-1+23 =1

Resposta

1

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