(G1 - utfpr 2018) Dados \mathrm{A}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, B=x-y e C=x \cdot y, para x \neq y, x \neq 0 e y \neq 0. Simplificando a expressão algébrica \frac{A^{2}-B^{2}}{C}, obtém-se:
a) 0 .
b) \frac{2 y}{x}.
c) 4 .
d) -\frac{2 x}{y}.
e) -\frac{2 x}{y}.

Passo 1

O enunciado dá as expressões
A = x + y,\qquad B = x - y,\qquad C = x\cdot y,
com as condições x\neq y, x\neq 0 e y\neq 0.
O que se pede é simplificar a expressão
\frac{A^{2}-B^{2}}{C}
e identificar o resultado entre as alternativas fornecidas.

Passo 2

Vou usar uma identidade algébrica muito útil: a diferença de quadrados. A identidade diz que, para quaisquer u e v,
u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v).
Aqui podemos aplicar essa identidade com u=A e v=B, porque temos exatamente A^{2}-B^{2}.

Passo 3

Aplicando a identidade obtemos
A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B).
Agora calculamos A-B substituindo A e B.

Passo 4

Calcular A-B:
A-B=(x+y)-(x-y).
Fazendo as parcelas:
(x+y)-(x-y)=x+y-x+y=2y.
Aqui foi só cancelar x e somar os y.

Passo 5

Calcular A+B:
A+B=(x+y)+(x-y).
Fazendo as parcelas:
(x+y)+(x-y)=x+y+x-y=2x.
Foi só agrupar os x e cancelar os y.

Passo 6

Agora substituímos em (A-B)(A+B):
(A-B)(A+B)=(2y)(2x)=4xy.

Passo 7

Voltando à expressão original e dividindo por C, que pelo enunciado é C=x\cdot y:
\frac{A^{2}-B^{2}}{C}=\frac{4xy}{x y}.
Como x\neq 0 e y\neq 0, podemos simplificar cancelando x y:
\frac{4xy}{x y}=4.

Resposta

c) 4

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