[G6] Derive a função
f(x)=2^x ln (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2^x,lnl(2xr)
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto e a regra da cadeia: para funções g(x) e h(x),
l(gcdot hr)' = g',h + g,h',
e para h(x)=ln(u(x)),
h'(x)=u'(x)u(x)

Passo 2

Definimos
g(x)=2^x, h(x)=lnl(2xr)
Primeiro,
g'(x)=2^xln2
porque a derivada de a^x é a^xln a.
Depois, aplicando a regra da cadeia em h:
h'(x)=ddxlnl(2xr)=12xcdot2=1x
Agora usamos a regra do produto:
f'(x)=g'(x),h(x)+g(x),h'(x) =2^xln2;lnl(2xr)+2^xcdot1x

Passo 3

Fatorando 2^x, obtemos a forma mais compacta:
f'(x)=2^xl(ln2;ln(2x)+1xr)

Resposta

f'(x)=2^xl(ln2;ln(2x)+1xr)

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