Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois buscar uma solução particular para o termo de força
.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
cuja raízes são
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é
, que é um polinômio de grau 2 vezes
, e como
não é solução da homogênea, fazemos o chute
onde
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Se definirmos
então
Como
e
, obtemos
Passo 5
Substituindo em
:
Agrupando termos em
,
e constante:
Isso deve ser igual a
. Assim igualamos coeficientes:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Passo 7
Logo a solução particular fica
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular: