Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+3 y=-48 x^2 e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 3y = -48,x^2 e^3x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois buscar uma solução particular para o termo de força -48x^2e^3x.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 3y = 0
A equação característica é
r^2 + 3 = 0
cuja raízes são r = pm iraiz3. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1cosl(raiz3,xr) + C2sinl(raiz3,xr)

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é -48x^2e^3x, que é um polinômio de grau 2 vezes e^3x, e como e^3x não é solução da homogênea, fazemos o chute
yp = e^3xl(Ax^2 + Bx + Cr),
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp. Se definirmos
f(x) = Ax^2 + Bx + C,
então
yp = e^3xf(x), yp' = e^3xl(3f(x) + f'(x)r), yp'' = e^3xl(3(3f(x)+f'(x)) + f''(x)r)
Como f'(x)=2Ax+B e f''(x)=2A, obtemos
yp' = e^3xl(3Ax^2 + (3B+2A)x + (3C+B)r),
yp'' = e^3xl(9A x^2 + (9B+12A)x + (9C+6B+2A)r)

Passo 5

Substituindo em y''+3y:
yp'' + 3yp = e^3xl(9A x^2 + (9B+12A)x + (9C+6B+2A)r) +3,e^3xl(Ax^2+Bx+Cr)
Agrupando termos em x^2, x e constante:
yp'' + 3yp = e^3xl(12A,x^2 + (12A+12B),x + (2A+6B+12C)r)
Isso deve ser igual a -48x^2e^3x. Assim igualamos coeficientes:
12A = -48, 12A+12B = 0, 2A+6B+12C = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
12A = -48 implies A = -4,
12(-4) + 12B = 0 implies -48 +12B = 0 implies B = 4,
2(-4) +6cdot4 +12C = 0 implies -8 +24 +12C = 0 implies 12C = -16 implies C = -tfrac43

Passo 7

Logo a solução particular fica
yp = e^3xl(-4x^2 +4x -tfrac43r)

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1cosl(raiz3,xr) + C2sinl(raiz3,xr) + e^3xl(-4x^2 +4x -tfrac43r)

Resposta

y(x) = C1cosl(raiz3,xr) + C2sinl(raiz3,xr) + e^3x!l(-4x^2 +4x -tfrac43r)

Exercícios relacionados