Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-2 y^prime+5 y=e^x cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes indeterminados, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+5y = e^xcos2x
O conteúdo que vamos usar é: (1) solução geral da parte homogênea obtida pela equação característica, e (2) tentativa de uma solução particular baseada na forma da força externa e^xcos2x.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea
y''-2y'+5y=0
A equação característica é
r^2 -2r +5=0,
cuja solução é
r = 2pmraiz4-202 = 1pm 2i
Logo a solução homogênea é
yh = e^xl(C1cos2x + C2sin2xr)

Passo 3

Como o termo não homogêneo é e^xcos2x e 1+2i é raiz da característica, fazemos a ansatz multiplicada por x:
yp = x,e^xl(Acos2x + Bsin2xr)
Para simplificar a substituição, definimos
u(x) = x,(Acos2x + Bsin2x), yp = e^x,u
Então
yp' = e^x(u + u'), yp'' = e^x(u + 2u' + u'')
Substituindo em y''-2y'+5y obtemos
L[yp] = e^xl(u'' + 4ur)

Passo 4

Agora calculamos u''+4u. Como
u = A xcos2x + B xsin2x,
segue-se (após derivar duas vezes) que os termos em x se cancelam e sobra
u'' + 4u = -4Asin2x +4Bcos2x
Portanto
L[yp] = e^xl(-4Asin2x +4Bcos2xr)
deve ser igual a e^xcos2x. Comparando coeficientes de cos2x e sin2x:
4B = 1 implies B = tfrac14, -4A = 0 implies A = 0
Logo
yp = 14,x,e^xsin2x

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh + yp = e^xl(C1cos2x + C2sin2xr) + 14,x,e^xsin2x

Resposta

boxedy(x) = e^xl(C1cos2x + C2sin2xr) + 14,x,e^xsin2x

Exercícios relacionados