Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método dos coeficientes indeterminados, a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo que vamos usar é: (1) solução geral da parte homogênea obtida pela equação característica, e (2) tentativa de uma solução particular baseada na forma da força externa
.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
e
é raiz da característica, fazemos a ansatz multiplicada por
:
Para simplificar a substituição, definimos
Então
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Agora calculamos
. Como
segue-se (após derivar duas vezes) que os termos em
se cancelam e sobra
Portanto
deve ser igual a
. Comparando coeficientes de
e
:
Logo
Passo 5
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular: