Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+y=2 x sen x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + y = 2xsin x
usando o método dos coeficientes indeterminados.
O conteúdo é ODE linear de segunda ordem com termo não-homogêneo, e vamos precisar de:
  1. solução geral da homogênea associada;
  2. um palpite (ansatz) para a solução particular, levando em conta ressonância;
  3. determinar coeficientes igualando termos de sin x e cos x.

Passo 2

Começamos pela solução da homogênea
yh'' + yh = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i.
Logo
yh(x) = C1cos x + C2sin x

Passo 3

Para a parte particular, o termo de forçamento é 2xsin x.
Num caso genérico, para Pm(x)sin(beta x) com beta=1 e Pm de grau m=1, faríamos
yp = (A x + B)sin x + (C x + D)cos x
Mas como sin x e cos x já são soluções da homogênea, há ressonância simples.
Multiplicamos o ansatz por x, obtendo
yp = l(a x^2 + b xr)sin x + l(c x^2 + d xr)cos x

Passo 4

Defina
U(x) = a x^2 + b x, V(x) = c x^2 + d x,
yp = Usin x + Vcos x
Calcula-se
yp'=(U'-V)sin x + (U+V')cos x,
yp''=(U''-V'-U)sin x + (U'-V+V'')cos x
Então
yp''+yp=l(M'(x)-N(x)+U(x)r)sin x+l(M(x)+N'(x)+V(x)r)cos x,
onde
M=U'-V, N=U+V'
Igualamos esse resultado a 2xsin x+0cos x.

Passo 5

Fazendo as contas de coeficientes em x e constantes, obtemos o sistema
-4c=2, 2(a-d)=0, 4a=0, 2b+2c=0
Daí
c=-tfrac12, a=0, d=a=0, b=-c=tfrac12

Passo 6

Substituindo em U e V:
U(x)=tfrac12 x, V(x)=-tfrac12 x^2
Logo a solução particular é
yp(x)=x2sin x-x^22cos x
A solução geral fica
y(x)=C1cos x + C2sin x + x2sin x - x^22cos x

Resposta

boxedy(x)=C1cos x + C2sin x + x2sin x - x^22cos x

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