Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados.
O conteúdo é ODE linear de segunda ordem com termo não-homogêneo, e vamos precisar de:
O conteúdo é ODE linear de segunda ordem com termo não-homogêneo, e vamos precisar de:
- solução geral da homogênea associada;
- um palpite (ansatz) para a solução particular, levando em conta ressonância;
- determinar coeficientes igualando termos de
e .
Passo 2
Começamos pela solução da homogênea
A equação característica é
, com raízes
.
Logo
Logo
Passo 3
Para a parte particular, o termo de forçamento é
.
Num caso genérico, para com
e
de grau
, faríamos
Num caso genérico, para
Mas como
e
já são soluções da homogênea, há ressonância simples.
Multiplicamos o ansatz por , obtendo
Multiplicamos o ansatz por
Passo 4
Defina
Calcula-se
Então
onde
Igualamos esse resultado a
.
Passo 5
Fazendo as contas de coeficientes em
e constantes, obtemos o sistema
Daí
Passo 6
Substituindo em
e
:
Logo a solução particular é
A solução geral fica