[G6] Encontre a equaçao da reta tangente do grafico da equaçao no ponto (0,0)
(sin y+y^2-2)^2-x^2=4 x+4

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
(sin y + y^2 - 2)^2 - x^2 = 4x + 4
e pede a reta tangente em (0,0). O conteúdo usado será diferenciação implícita para obter dydx e depois a fórmula da reta tangente
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Primeiro confirmamos que (0,0) está na curva. Substituindo x=0 e y=0:
sin 0 + 0^2 - 2 = -2 Longrightarrow (,-2,)^2 - 0^2 = 4,
e o lado direito é 4cdot0+4=4. Logo 4=4 e o ponto pertence à curva.

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. Seja
F(x,y) = (sin y + y^2 - 2)^2 - x^2 - 4x - 4 = 0
Então
dFdx = 2(sin y + y^2 - 2),ddx(sin y + y^2 - 2) - 2x - 4 = 0
Como ddx(sin y + y^2 - 2) = (cos y + 2y),dydx, temos
2(sin y + y^2 - 2),(cos y + 2y),dydx - 2x - 4 = 0

Passo 4

Isolando dydx:
dydx = 2x + 42(sin y + y^2 - 2)(cos y + 2y)
No ponto (0,0) isso vale
dydx|(0,0) = 2cdot0 + 42,( sin0 + 0^2 -2 )(cos0 + 0 ) = 42cdot(-2)cdot1 = -1

Passo 5

A inclinação da reta tangente em (0,0) é m=-1. Usando
y - 0 = -1,(x - 0),
a equação da reta é
y = -x

Resposta

A reta tangente ao gráfico no ponto (0,0) é
y = -x

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