Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty(raiz[n]n-1)^n

Passo 1

O enunciado nos pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftyl(raiz[n]n-1r)^n
O conteúdo principal é aplicação de testes de convergência de séries numéricas (especialmente o teste da raiz) e uso de equivalências assintóticas.

Passo 2

Precisamos entender o comportamento de raiz[n]n-1 quando ntoinfty. Note que
raiz[n]n = e^ln nn =1+ln nn+O!l((ln n)^2n^2r)
Portanto
raiz[n]n-1 = ln nn + O!l((ln n)^2n^2r),
o que implica raiz[n]n-1to0.

Passo 3

Seja an=(raiz[n]n-1)^n. Aplicamos o teste da raiz, que diz analisar
limntoinftyraiz[n]|an| =limntoinftyl|raiz[n]n-1r| =0
Como esse limite é <1, a série sum an converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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