Exercício 16. Em uma urna contém 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 4 bolas verdes. Retira-se, aleatoriamente, duas bolas sem reposição (Isto é, sorteia ao acaso a primeira bola, deixa-a de fora da urna e, posteriormente, realiza o sorteio, ao acaso, da segunda bola). Qual é a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor? (Utilize 4 casas decimais). Resp.: \frac{20}{72}=0.2778

Passo 1

O enunciado dá uma urna com 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 4 bolas verdes, portanto 9 bolas no total. Retira-se, aleatoriamente, duas bolas sem reposição (ou seja, a segunda retirada é feita com a urna já com uma bola a menos).
A pergunta é: qual é a probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam da mesma cor?
Informações relevantes:
  • Número total de bolas: 2+3+4=9.
  • Retiradas sem reposição (evento dependente entre primeiras e segundas retiradas).
  • Queremos a probabilidade de “duas brancas” ou “duas pretas” ou “duas verdes” (qualquer uma dessas três situações).

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vou calcular a probabilidade de cada caso (duas brancas, duas pretas, duas verdes) e somar essas probabilidades, porque esses três eventos são disjuntos (não podem ocorrer ao mesmo tempo).
Para cada caso uso a regra do produto para eventos dependentes:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A),
onde P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu. Aqui A é “tirar uma bola de certa cor na 1ª retirada” e B é “tirar outra bola da mesma cor na 2ª retirada”. Isso é apropriado porque as retiradas são sem reposição, então a segunda probabilidade depende da primeira.
Observação curta sobre dependência: se as retiradas fossem com reposição (colocando a bola de volta), as probabilidades seriam independentes e você multiplicaria duas vezes a mesma fração; mas aqui não é o caso.

Passo 3

Calcular a probabilidade de as duas bolas serem brancas.
Primeiro, a probabilidade de a primeira bola ser branca:
P(\text{1ª branca})=\frac{2}{9}.ª
Se a primeira foi branca, resta 1 bola branca e 8 bolas no total, então a probabilidade da segunda também ser branca é
P(\text{2ª branca}\mid\text{1ª branca})=\frac{1}{8}.ªª
Aplicando a regra do produto:
P(\text{2 brancas})=\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{2}{72}.

Passo 4

Calcular a probabilidade de as duas bolas serem pretas.
Probabilidade da primeira preta:
P(\text{1ª preta})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.ª
Se a primeira foi preta, restam 2 pretas entre 8 bolas, então
P(\text{2ª preta}\mid\text{1ª preta})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.ªª
Portanto
P(\text{2 pretas})=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}=\frac{6}{72}.

Passo 5

Calcular a probabilidade de as duas bolas serem verdes.
Probabilidade da primeira verde:
P(\text{1ª verde})=\frac{4}{9}.ª
Se a primeira foi verde, restam 3 verdes entre 8 bolas, então
P(\text{2ª verde}\mid\text{1ª verde})=\frac{3}{8}.ªª
Logo
P(\text{2 verdes})=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{12}{72}.

Passo 6

Somar as probabilidades dos três casos (são mutuamente excludentes):
P(\text{mesma cor})=P(\text{2 brancas})+P(\text{2 pretas})+P(\text{2 verdes}) =\frac{2}{72}+\frac{6}{72}+\frac{12}{72}=\frac{20}{72}.
Simplificando a fração:
\frac{20}{72}=\frac{5}{18}.
Agora converter para decimal com quatro casas decimais. A fração \frac{5}{18} vale aproximadamente 0{,}277777\ldots arredondando para 4 casas decimais dá 0{,}2778.

Passo 7

Verificação alternativa (método combinatório breve, para fixar a ideia): contamos o número de pares favoráveis dividido pelo número total de pares.
Número total de pares escolhidos dentre 9 bolas:
\binom{9}{2}=36.
Pa-res favoráveis:
\binom{2}{2}=1\\ (\text{duas brancas}),\quad \binom{3}{2}=3\\ (\text{duas pretas}),\quad \binom{4}{2}=6\\ (\text{duas verdes}).
Total favorável =1+3+6=10. Logo
P=\frac{10}{36}=\frac{5}{18},
mesma resposta obtida antes — bom sinal!

Passo 8

Força aí: essa é a solução completa e bem repetível na prova — calcular caso a caso usando P(A)P(B\mid A) ou usar contagem combinatória dá o mesmo resultado. Confia que tu consegue aplicar isso em outras questões parecidas!

Resposta

\displaystyle \frac{5}{18}=0{,}2778

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