Exercício 16. Em uma urna contém 2 bolas brancas, 3 bolas pretas e 4 bolas verdes. Retira-se, aleatoriamente, duas bolas sem reposição (Isto é, sorteia ao acaso a primeira bola, deixa-a de fora da urna e, posteriormente, realiza o sorteio, ao acaso, da segunda bola). Qual é a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor? (Utilize 4 casas decimais). Resp.:
Passo 1
O enunciado dá uma urna com
bolas brancas,
bolas pretas e
bolas verdes, portanto
bolas no total. Retira-se, aleatoriamente, duas bolas sem reposição (ou seja, a segunda retirada é feita com a urna já com uma bola a menos).
A pergunta é: qual é a probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam da mesma cor?
A pergunta é: qual é a probabilidade de que ambas as bolas retiradas sejam da mesma cor?
Informações relevantes:
- Número total de bolas:
. - Retiradas sem reposição (evento dependente entre primeiras e segundas retiradas).
- Queremos a probabilidade de “duas brancas” ou “duas pretas” ou “duas verdes” (qualquer uma dessas três situações).
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vou calcular a probabilidade de cada caso (duas brancas, duas pretas, duas verdes) e somar essas probabilidades, porque esses três eventos são disjuntos (não podem ocorrer ao mesmo tempo).
Para cada caso uso a regra do produto para eventos dependentes:
Para cada caso uso a regra do produto para eventos dependentes:
onde
é a probabilidade de
ocorrer dado que
já ocorreu. Aqui
é “tirar uma bola de certa cor na 1ª retirada” e
é “tirar outra bola da mesma cor na 2ª retirada”. Isso é apropriado porque as retiradas são sem reposição, então a segunda probabilidade depende da primeira.
Observação curta sobre dependência: se as retiradas fossem com reposição (colocando a bola de volta), as probabilidades seriam independentes e você multiplicaria duas vezes a mesma fração; mas aqui não é o caso.
Passo 3
Calcular a probabilidade de as duas bolas serem brancas.
Primeiro, a probabilidade de a primeira bola ser branca:
Se a primeira foi branca, resta
bola branca e
bolas no total, então a probabilidade da segunda também ser branca é
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Calcular a probabilidade de as duas bolas serem pretas.
Probabilidade da primeira preta:
Se a primeira foi preta, restam
pretas entre
bolas, então
Portanto
Passo 5
Calcular a probabilidade de as duas bolas serem verdes.
Probabilidade da primeira verde:
Se a primeira foi verde, restam
verdes entre
bolas, então
Logo
Passo 6
Somar as probabilidades dos três casos (são mutuamente excludentes):
Simplificando a fração:
Agora converter para decimal com quatro casas decimais. A fração
vale aproximadamente
arredondando para
casas decimais dá
.
Passo 7
Verificação alternativa (método combinatório breve, para fixar a ideia): contamos o número de pares favoráveis dividido pelo número total de pares.
Número total de pares escolhidos dentre bolas:
Número total de pares escolhidos dentre
Pa-res favoráveis:
Total favorável
. Logo
mesma resposta obtida antes — bom sinal!
Passo 8
Força aí: essa é a solução completa e bem repetível na prova — calcular caso a caso usando
ou usar contagem combinatória dá o mesmo resultado. Confia que tu consegue aplicar isso em outras questões parecidas!