Uma galeria de águas pluviais, circular, transporta em regime permanente e uniforme e crítico uma vazão de lâmina y / D=0,80 \mathrm{~m}. Qual a vazão e o Diâmetro dessa obra de arte? Use \mathrm{n}=0,013 e \mathrm{I}=0,002 \mathrm{~m} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado descreve uma galeria circular em regime permanente e uniforme e, adicionalmente, em condição crítica de escoamento, com razão de lâmina sobre o diâmetro
\frac{y}{D}=0{,}80.
Queremos determinar o diâmetro D e a vazão Q, sabendo que o coeficiente de Manning é n=0{,}013 e a declividade hidráulica é I=0{,}002. Usaremos as fórmulas de escoamento uniforme de Manning e a condição de escoamento crítico em canal.

Passo 2

Como a seção é circular e y/D=0{,}8, definimos R=D/2 e h=y=0{,}8\,D. O ângulo central correspondente é
\theta \;=\; 2\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{R-h}{R}\Bigr) \;=\; 2\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{0{,}5D-0{,}8D}{0{,}5D}\Bigr) \;=\; 2\operatorname{arccos}(-0{,}6) \;\approx\;4{,}4286\;\text{rad}.
A área molhada A, a largura superior T e o perímetro molhado P valem
A = \frac{R^{2}}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr) =\frac{D^{2}}{8}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr) \approx0{,}67344\,D^{2},
T = 2\,R\sin\frac{\theta}{2}=D\sin\bigl(2{,}2143\bigr)\approx0{,}7986\,D,
P = R\,\theta = \tfrac{D}{2}\,\theta\approx2{,}2143\,D.
Logo o raio hidráulico é
R_{h} = \frac{A}{P}\approx\frac{0{,}67344\,D^{2}}{2{,}2143\,D}=0{,}3042\,D.

Passo 3

A velocidade de escoamento em regime uniforme (Manning) é
V_{M} = \frac{1}{n}\,R_{h}^{2/3}\,\sqrt{I} = \frac{1}{0{,}013}\,(0{,}3042\,D)^{2/3}\,\sqrt{0{,}002} \approx1{,}556\,D^{2/3}.
A velocidade crítica em qualquer seção é
V_{c} = \sqrt{\frac{g\,A}{T}} =\sqrt{\frac{9,81\;\times0{,}67344\,D^{2}}{0{,}7986\,D}} =\sqrt{8{,}274\,D} \approx2{,}876\,\sqrt{D}.

Passo 4

Em condição crítica e uniforme as velocidades coincidem, V_{M}=V_{c}. Assim
1{,}556\,D^{2/3}=2{,}876\,D^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad D^{2/3-1/2}=D^{1/6}=\frac{2{,}876}{1{,}556}\approx1{,}8474
\Longrightarrow\; D=\bigl(1{,}8474\bigr)^{6}\approx39{,}8\;\text{m}.

Passo 5

Com D\approx 39{,}8,m, calculamos A e a velocidade crítica V_{c}:
A \approx 0{,}67344 \times (39{,}8)^{2} \approx 1\,066{,}5\;\text{m}^{2}, \quad V_{c} \approx 2{,}876 \sqrt{39{,}8} \approx 18{,}13\;\text{m/s}.
A vazão é
Q = A \cdot V_{c} \approx 1\,066{,}5 \times 18{,}13 \approx 19\,340\;\text{m}^{3}/\text{s}.

Resposta

Diâmetro D\approx39{,}8\;\text{m}
Vazão Q\approx1,93\times10^{4}\;\text{m}^{3}/\text{s}

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