Questão 4. ( 2,5 pts) Uma parede vertical é coberta com um fluido newtoniano adesivo (a viscosidade é constante). O fluido flui descendo a parede sob a ação da gravidade, com um escoamento tal que a espessura do filme formado pelo fluido é constante. Você pode admitir que a pressão em todos os locais do filme líquido seja igual à pressão atmosférica. Partindo das equações de Navier-Stokes completas em coordenadas cartesianas, deduza uma expressão para o perfil de velocidades \mathrm{V}(\mathrm{y}), onde V é a velocidade de descida e y é a distância perpendicular afastando-se da parede.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento permanente de um fluido newtoniano descendo por uma parede vertical, formando um filme de espessura constante h. A pressão em todo o filme é igual à atmosférica e o único corpo de volume atuante é a gravidade. Vamos usar as equações de Navier–Stokes em coordenadas cartesianas e impor as hipóteses de escoamento unidirecional e estacionário para deduzir V(y), sendo y a distância perpendicular à parede.

Passo 2

Escrevemos a equação de quantidade de movimento na direção x (vertical para baixo), em regime permanente e sem variação espacial em x nem em z, com componente de velocidade V_x=V(y) e sem pressão variável em x:
0 = -\frac{\partial p}{\partial x} + \mu \frac{d^2V}{dy^2} + \rho\,g.
Como \partial p/\partial x=0 (pressão uniforme atmosférica), simplifica-se para
\mu \,\frac{d^2V}{dy^2} + \rho\,g = 0.

Passo 3

Isolamos a segunda derivada e integramos uma vez:
\frac{d^2V}{dy^2} = -\frac{\rho\,g}{\mu} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dV}{dy} = -\frac{\rho\,g}{\mu}\,y + C_{1}.
No filme livre (superfície em y=h) a tensão de cisalhamento é nula, logo
\left.\frac{dV}{dy}\right|_{y=h} = 0 \quad\Longrightarrow\quad 0 = -\frac{\rho\,g}{\mu}\,h + C_{1} \;\Longrightarrow\; C_{1} = \frac{\rho\,g}{\mu}\,h.

Passo 4

Integramos mais uma vez para obter V(y):
\frac{dV}{dy} = \frac{\rho\,g}{\mu}\,(h - y) \quad\Longrightarrow\quad V(y) = \frac{\rho\,g}{\mu}\,\Bigl(h\,y - \tfrac{y^2}{2}\Bigr) + C_{2}.
No contato com a parede ( y=0) vale a condição de não deslizamento:
V(0)=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=0.

Passo 5

Portanto, o perfil de velocidades fica
V(y) = \frac{\rho\,g}{\mu}\,\Bigl(h\,y - \tfrac{y^2}{2}\Bigr) = \frac{\rho\,g}{2\,\mu}\;y\,(2\,h - y).

Resposta

V(y) = \frac{\rho\,g}{2\,\mu}\;y\,(2\,h - y).

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