Dimensione uma galeria circular em concreto para uma vazão de 0,7 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, declividade longitudinal de 2 \%. A galeria deve funcionar com um tirante máximo de 80 \% do diâmetro e velocidade máxima de 4,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
FORMULÁRIO
Q=C d \cdot A \cdot \sqrt{2 g h} \quad F r=\frac{V}{\sqrt{g \cdot y n}} \quad Q=\frac{A}{n} \cdot R_{H}^{2 / 3} \cdot I^{1 / 2} \quad Q=1,838 \cdot L \cdot H^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de uma galeria circular em concreto com:
\bullet Vazão Q = 0,7\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} \bullet Declividade longitudinal I = 2\%=0,02 \bullet Tirante máximo y = 0,8\,D \bullet Velocidade máxima V_{\max}=4,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
O conteúdo aplicado será a equação de Manning para canais e a geometria de um canal circular parcialmente cheio.

Passo 2

Para canais em escoamento uniforme usamos a equação de Manning
Q \;=\;\frac{A}{n}\;R_H^{2/3}\;I^{1/2}
onde n é o coeficiente de rugosidade. Para concreto usualmente se adota n=0,013.

Passo 3

Como o tirante é y=0,8\,D, definimos \alpha=0,8. A geometria do trecho molhado de um círculo de diâmetro D é:
\theta \;=\;2\,\operatorname{arccos}\bigl(1-\alpha\bigr) \quad,\quad A \;=\;\frac{D^2}{8}\,\bigl(\theta-\sin\theta\bigr) \quad,\quad P \;=\;\frac{D\,\theta}{2} \quad,\quad R_H \;=\;\frac{A}{P}.

Passo 4

Substituindo na Manning, obtemos Q em função de D. Para resolver fazemos tentativa e interpolação.
Teste D=1{,}00\\ \mathrm{m}:
\alpha=0,8\Rightarrow\theta=2,739\\ \mathrm{rad},
A=0,2933\\ \mathrm{m}^2,\quad P=1,3695\\ \mathrm{m},\quad R_H=0,2142\\ \mathrm{m},
Q=\frac{0,2933}{0,013}\,(0,2142)^{2/3}\,(0,02)^{1/2}\approx1,14\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Como Q>0,7, podemos diminuir D.
Teste D=0,80\\ \mathrm{m}:
A=0,1877\\ \mathrm{m}^2,\; P=1,0957\\ \mathrm{m},\; R_H=0,1713\\ \mathrm{m},
Q\approx0,63\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}<0,7.
Logo D está entre 0,80,\mathrm{m} e 1,00,\mathrm{m}.

Passo 5

Interpolando linearmente entre os resultados, acha-se
D\approx0,83\\ \mathrm{m},
o que dá
A\approx0,2020\\ \mathrm{m}^2, \quad Q\approx0,70\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 6

Verificamos a velocidade média
V=\frac{Q}{A}\approx\frac{0,70}{0,2020}\approx3,47\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}<4,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
atendendo ao limite imposto.

Resposta

Diâmetro calculado D\approx0,83\\ \mathrm{m}.
Adota-se então um tubo de diâmetro comercial D=0,85\\ \mathrm{m}, com tirante y=0,8\,D=0,68\\ \mathrm{m} e velocidade V\approx3,3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

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