Um emissário de esgoto, de concreto em condições regulares, cuja seção tem a forma de arco de círculo baixo com altura
, transporta uma vazão de
. Sendo a declividade de fundo
, determine a lâmina d’água e a velocidade média.
[
\mathrm{R}: \mathrm{h}=0,88 \mathrm{~m} ; \mathrm{V}=1,13 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
\mathrm{R}: \mathrm{h}=0,88 \mathrm{~m} ; \mathrm{V}=1,13 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado diz e o que precisamos:
– Temos um emissário de concreto com seção em “arco de círculo baixo” (isto é, um segmento de círculo).
– A altura total desse segmento é H = 1,25 m (o ponto mais alto do arco até a base).
– Passa por ele uma vazão Q = 1,70 m³/s, em regime regular (fluxo uniforme).
– A declividade do fundo é i₀ = 0,001.
O conteúdo é Escoamento Uniforme em Canal de Seção “Segmento Circular” e vamos usar:
• Geometria de segmento circular (A, P molhado, raio hidráulico R)
• Fórmula de Manning:
Q = (1/n)·A·R^{2/3}·√i₀
– Nosso objetivo: achar a lâmina d’água h e a velocidade média V = Q/A.
– Precisamos também do coeficiente de rugosidade n do concreto (a gente usa n ≃ 0,013).
– Temos um emissário de concreto com seção em “arco de círculo baixo” (isto é, um segmento de círculo).
– A altura total desse segmento é H = 1,25 m (o ponto mais alto do arco até a base).
– Passa por ele uma vazão Q = 1,70 m³/s, em regime regular (fluxo uniforme).
– A declividade do fundo é i₀ = 0,001.
O conteúdo é Escoamento Uniforme em Canal de Seção “Segmento Circular” e vamos usar:
• Geometria de segmento circular (A, P molhado, raio hidráulico R)
• Fórmula de Manning:
Q = (1/n)·A·R^{2/3}·√i₀
– Nosso objetivo: achar a lâmina d’água h e a velocidade média V = Q/A.
– Precisamos também do coeficiente de rugosidade n do concreto (a gente usa n ≃ 0,013).
Passo 2
Primeiro, montamos a geometria do segmento circular. Seja R₀ o raio do círculo-gerador e θ o semiângulo central tal que:
h = R₀·(1 – cos θ)
⇒ cos θ = 1 – h/R₀.
A partir disso:
– Área do segmento submerso:
A(h) = R₀²·(θ – sin θ·cos θ)
– Perímetro molhado:
P(h) = 2·R₀·θ
– Raio hidráulico:
R(h) = A(h) / P(h)
h = R₀·(1 – cos θ)
⇒ cos θ = 1 – h/R₀.
A partir disso:
– Área do segmento submerso:
A(h) = R₀²·(θ – sin θ·cos θ)
– Perímetro molhado:
P(h) = 2·R₀·θ
– Raio hidráulico:
R(h) = A(h) / P(h)
Passo 3
A equação de Manning para fluxo uniforme em canal é:
Q = (1/n)·A(h)·[R(h)]^{2/3}·√i₀
Aqui Q, n e i₀ são conhecidas, e A(h), R(h) dependem de h. Precisamos achar h tal que essa expressão dê 1,70 m³/s.
Q = (1/n)·A(h)·[R(h)]^{2/3}·√i₀
Aqui Q, n e i₀ são conhecidas, e A(h), R(h) dependem de h. Precisamos achar h tal que essa expressão dê 1,70 m³/s.
Passo 4
Como dá uma equação implícita em h (aparece dentro de θ), a gente resolve por tentativa e erro (ou ferramenta de cálculo):
- Chuta um valor de h, calcula θ = arccos(1 – h/R₀).
- Monta A(h), P(h), R(h).
- Avalia Q_calc = (1/n)·A·R^{2/3}·√i₀.
- Ajusta h até Q_calc ≃ 1,70.
Fazendo isso (ou usando solver), chega-se a:
h ≃ 0,88 m
Passo 5
Com h em mãos, reservo A = A(0,88 m) pelo mesmo processo geométrico e então:
V = Q / A ≃ 1,13 m/s
V = Q / A ≃ 1,13 m/s
Resposta
h = 0,88 m
V = 1,13 m/s
V = 1,13 m/s