Uma galeria de águas pluviais de 1,0 \mathrm{~m} de diâmetro, coeficiente de rugosidade de Manning \mathrm{n}=0,013 e declividade de fundo \mathrm{I}=2,510^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{m} transporta, em condições de regime permanente uniforme, uma vazão de 1,2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.
a) Determine a altura d’água e a velocidade média. ( 0,82 \mathrm{~m} \mathrm{e} 1,74 \mathrm{~m} / \mathrm{s} )
b) A tensão de cisalhamento média, no fundo. ( 7,46 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} )
c) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funcionasse na condição de máxima vazão? ( 1,29 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} )

Passo 1

O enunciado dá uma galeria circular com as seguintes informações e perguntas:
  • Diâmetro da galeria: D = 1,0\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de rugosidade de Manning: n = 0,013.
  • Declividade do fundo (inclinação): I = 2,5\times 10^{-3}.
  • Vazão em regime permanente uniforme: Q = 1,2\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Pede-se:
a) Determinar a altura d’água y (profundidade de escoamento medida a partir do fundo da galeria) e a velocidade média V.
b) Calcular a tensão de cisalhamento média no fundo \tau_{0}.
c) Determinar a capacidade de vazão da galeria quando ela funcionar na condição de vazão máxima (isto é, o máximo de Q possível em escoamento livre para essa seção).

Passo 2

Fórmulas e conceitos usados (explicação didática):
  • Para escoamento em canais livres usamos a fórmula de Manning:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}/s}),
  • n é o coeficiente de Manning (adimensional),
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m^{2}}),
  • R é o raio hidráulico, definido por R = A/P ( \mathrm{m}), com P o perímetro molhado ( \mathrm{m}),
  • S é a declividade da linha de energia, que aqui para regime uniforme vale S=I (adimensional).
  • Para uma seção circular parcialmente cheia é conveniente usar o ângulo central 2\alpha (em radianos) correspondente à parte molhada. Se R_{c}=D/2 é o raio do tubo, então a profundidade y está relacionada a \alpha por
\cos\alpha = \frac{R_{c}-y}{R_{c}}.
A área molhada A e o perímetro molhado P são:
A = R_{c}^{2}\!\left(\alpha - \tfrac{1}{2}\sin 2\alpha\right), \qquad P = 2R_{c}\alpha.
Então o raio hidráulico é R = \dfrac{A}{P}.
  • Observação prática: para encontrar y dada Q substituímos A e R na fórmula de Manning e resolvemos numericamente para y. Uma forma conveniente é calcular o alvo
M_{\text{alvo}} = \frac{nQ}{S^{1/2}}
e então procurar y tal que
A(y)\,R(y)^{2/3} = M_{\text{alvo}}.

Passo 3

Preparação numérica inicial (valores e constantes):
  • Raio do tubo: R_{c} = \dfrac{D}{2} = 0,50\\ \mathrm{m}.
  • Raiz de S: S^{1/2} = \sqrt{2{,}5\times 10^{-3}} = 0{,}05.
  • Constante alvo:
M_{\text{alvo}} = \frac{nQ}{S^{1/2}} = \frac{0{,}013\times 1{,}2}{0{,}05} = 0{,}312.
Portanto precisamos achar y tal que A(y)\,R(y)^{2/3} = 0{,}312.

Passo 4

Método numérico (exemplo de “caça” do y com dois testes e interpolação): vou avaliar A\,R^{2/3} para dois valores de y e interpolar — é um método simples e rápido para prova.
Teste 1: y_{1}=0{,}80\\ \mathrm{m}.
  • R_{c}-y_{1}=0{,}50-0{,}80=-0{,}30\Rightarrow \cos\alpha_{1}=-0{,}6\Rightarrow \alpha_{1}=\operatorname{arccos}(-0{,}6)=2{,}2143\\ \mathrm{rad}.
  • \sin 2\alpha_{1}=\sin(4{,}4286)\approx -0{,}9602.
  • A_{1}=R_{c}^{2}\!\left(\alpha_{1}-\tfrac{1}{2}\sin 2\alpha_{1}\right) =0{,}25\bigl(2{,}2143-(-0{,}4801)\bigr)=0{,}6736\\ \mathrm{m^{2}}.
  • P_{1}=2R_{c}\alpha_{1}=1{,}0\times 2{,}2143=2{,}2143\\ \mathrm{m}.
  • R_{1}=A_{1}/P_{1}=0{,}6736/2{,}2143=0{,}3043\\ \mathrm{m}.
  • R_{1}^{2/3}\approx 0{,}4525.
  • M_{1}=A_{1}R_{1}^{2/3}=0{,}6736\times 0{,}4525=0{,}3048.
Teste 2: y_{2}=0{,}85\\ \mathrm{m}.
  • R_{c}-y_{2}=0{,}50-0{,}85=-0{,}35\Rightarrow \cos\alpha_{2}=-0{,}7\Rightarrow \alpha_{2}=2{,}3462\\ \mathrm{rad}.
  • \sin 2\alpha_{2}\approx -0{,}9997.
  • A_{2}=0{,}25\bigl(2{,}3462-(-0{,}4999)\bigr)=0{,}7115\\ \mathrm{m^{2}}.
  • P_{2}=2{,}3462\\ \mathrm{m}.
  • R_{2}=0{,}7115/2{,}3462=0{,}3033\\ \mathrm{m}.
  • R_{2}^{2/3}\approx 0{,}4513.
  • M_{2}=0{,}7115\times 0{,}4513=0{,}3211.
Comparação: M_{1}=0{,}3048 < M_{\text{alvo}}=0{,}312 < M_{2}=0{,}3211. Logo y está entre 0{,}80 e 0{,}85\\ \mathrm{m}. Faço interpolação linear entre os pontos (y,M) para uma aproximação rápida:
y \approx 0{,}80 + \frac{0{,}312-0{,}3048}{0{,}3211-0{,}3048}\times 0{,}05 \approx 0{,}822\\ \mathrm{m}.
Arredondando para duas casas: y\approx 0{,}82\\ \mathrm{m}. (Esse processo é suficiente para prova; poderia refinar com nova avaliação se desejado.)

Passo 5

Cálculo detalhado dos parâmetros na profundidade encontrada (confirmação numérica precisa):
  • Usa-se y=0{,}82\\ \mathrm{m}.
  • R_{c}-y=0{,}50-0{,}82=-0{,}32\Rightarrow \cos\alpha=-0{,}64\Rightarrow \alpha=\operatorname{arccos}(-0{,}64)=2{,}2660\\ \mathrm{rad}.
  • \sin 2\alpha=\sin(4{,}5320)\approx -0{,}9839.
  • Área molhada:
A = 0{,}25\bigl(2{,}2660 - \tfrac{1}{2}(-0{,}9839)\bigr) =0{,}25(2{,}2660 + 0{,}49195)=0{,}6895\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Perímetro molhado:
P = 2R_{c}\alpha = 1{,}0\times 2{,}2660 = 2{,}2660\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R = \frac{A}{P} = \frac{0{,}6895}{2{,}2660} = 0{,}3043\\ \mathrm{m}.
  • Verificação da vazão pela fórmula de Manning:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2} = \frac{1}{0{,}013}\times 0{,}6895\times (0{,}3043)^{2/3}\times 0{,}05 \approx 1{,}2005\\ \mathrm{m^{3}/s},
o que bate com 1{,}2\\ \mathrm{m^{3}/s} dentro de erro numérico pequeno.

Passo 6

Cálculo da velocidade média V (parte a):
  • A velocidade média é V = \dfrac{Q}{A}.
  • Com Q=1{,}2\\ \mathrm{m^{3}/s} e A=0{,}6895\\ \mathrm{m^{2}},
V = \frac{1{,}2}{0{,}6895} \approx 1{,}74\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Cálculo da tensão de cisalhamento média no fundo \tau_{0} (parte b):
  • Fórmula prática para tensão média no fundo em canal uniforme é
\tau_{0} = \gamma\,R\,S,
onde \gamma é o peso específico da água. Usamos \gamma = 9810\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Com R=0{,}3043\\ \mathrm{m} e S=2{,}5\times 10^{-3},
\tau_{0} = 9810 \times 0{,}3043 \times 2{,}5\times 10^{-3} \approx 7{,}46\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Passo 8

Determinar a vazão máxima possível em escoamento livre (parte c) — explicação e procedimento:
  • Para declividade e rugosidade fixas, Q depende da profundidade y por
Q(y) \propto A(y)\,R(y)^{2/3}.
Então a vazão máxima em escoamento livre (sem pressurizar o tubo) é o máximo desta função quando 0< y < D (ou até y=D se o máximo ocorrer cheio).
  • Em prática de prova, fazemos avaliações numéricas de Q(y) em profundidades diferentes e identificamos o máximo. Abaixo faço algumas avaliações rápidas próximas da parte superior, porque já vimos que Q aumenta quando y sobe além de 0{,}82\\ \mathrm{m}.
Avaliações (cálculos resumidos):
  • Para y=0{,}90\\ \mathrm{m} obtém-se A\approx 0{,}7445\\ \mathrm{m^{2}}, R\approx 0{,}2980\\ \mathrm{m}, resultando em Q\approx 1{,}278\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Para y=0{,}92\\ \mathrm{m} obtém-se A\approx 0{,}7564\\ \mathrm{m^{2}}, R\approx 0{,}2943\\ \mathrm{m}, resultando em Q\approx 1{,}288\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Para y=0{,}94\\ \mathrm{m} obtém-se A\approx 0{,}7663\\ \mathrm{m^{2}}, R\approx 0{,}2895\\ \mathrm{m}, resultando em Q\approx 1{,}290\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Para y=0{,}96\\ \mathrm{m} obtém-se Q\approx 1{,}284\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Observação: os valores acima foram obtidos usando as fórmulas do Passo 2 e substituindo numericamente; percebe-se que Q(y) atinge um máximo em torno de y\approx 0{,}94\\ \mathrm{m} com Q_{\max}\approx 1{,}29\\ \mathrm{m^{3}/s}. Portanto a capacidade máxima de vazão em condição de escoamento livre é aproximadamente 1{,}29\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Resposta

(a) y=0,82\\ \mathrm{m} e V=1,74\\ \mathrm{m/s}
(b) \tau_{0}=7,46\\ \mathrm{N/m^{2}}
(c) Q_{\max}\approx 1,29\\ \mathrm{m^{3}/s}

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