Uma galeria de águas pluviais de
de diâmetro, coeficiente de rugosidade de Manning
e declividade de fundo
transporta, em condições de regime permanente uniforme, uma vazão de
.
a) Determine a altura d’água e a velocidade média. (
)
b) A tensão de cisalhamento média, no fundo. (
)
c) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funcionasse na condição de máxima vazão? (
)
a) Determine a altura d’água e a velocidade média. (
b) A tensão de cisalhamento média, no fundo. (
c) Qual seria a capacidade de vazão da galeria, se ela funcionasse na condição de máxima vazão? (
Passo 1
O enunciado dá uma galeria circular com as seguintes informações e perguntas:
- Diâmetro da galeria:
. - Coeficiente de rugosidade de Manning:
. - Declividade do fundo (inclinação):
. - Vazão em regime permanente uniforme:
.
Pede-se:
a) Determinar a altura d’água (profundidade de escoamento medida a partir do fundo da galeria) e a velocidade média
.
b) Calcular a tensão de cisalhamento média no fundo .
c) Determinar a capacidade de vazão da galeria quando ela funcionar na condição de vazão máxima (isto é, o máximo de possível em escoamento livre para essa seção).
a) Determinar a altura d’água
b) Calcular a tensão de cisalhamento média no fundo
c) Determinar a capacidade de vazão da galeria quando ela funcionar na condição de vazão máxima (isto é, o máximo de
Passo 2
Fórmulas e conceitos usados (explicação didática):
- Para escoamento em canais livres usamos a fórmula de Manning:
onde:
-
é a vazão ( ), -
é o coeficiente de Manning (adimensional), -
é a área da seção molhada ( ), -
é o raio hidráulico, definido por ( ), com o perímetro molhado ( ), -
é a declividade da linha de energia, que aqui para regime uniforme vale (adimensional). - Para uma seção circular parcialmente cheia é conveniente usar o ângulo central
(em radianos) correspondente à parte molhada. Se é o raio do tubo, então a profundidade está relacionada a por
A área molhada
e o perímetro molhado
são:
Então o raio hidráulico é
.
- Observação prática: para encontrar
dada substituímos e na fórmula de Manning e resolvemos numericamente para . Uma forma conveniente é calcular o alvo
e então procurar
tal que
Passo 3
Preparação numérica inicial (valores e constantes):
- Raio do tubo:
. - Raiz de
: . - Constante alvo:
Portanto precisamos achar
tal que
.
Passo 4
Método numérico (exemplo de “caça” do
com dois testes e interpolação): vou avaliar
para dois valores de
e interpolar — é um método simples e rápido para prova.
Teste 1:
.
Teste 2:
.
Comparação:
. Logo
está entre
e
. Faço interpolação linear entre os pontos
para uma aproximação rápida:
Arredondando para duas casas:
. (Esse processo é suficiente para prova; poderia refinar com nova avaliação se desejado.)
Passo 5
Cálculo detalhado dos parâmetros na profundidade encontrada (confirmação numérica precisa):
- Usa-se
. -
-
- Área molhada:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
- Verificação da vazão pela fórmula de Manning:
o que bate com
dentro de erro numérico pequeno.
Passo 6
Cálculo da velocidade média
(parte a):
- A velocidade média é
. - Com
e ,
Passo 7
Cálculo da tensão de cisalhamento média no fundo
(parte b):
- Fórmula prática para tensão média no fundo em canal uniforme é
onde
é o peso específico da água. Usamos
.
- Com
e ,
Passo 8
Determinar a vazão máxima possível em escoamento livre (parte c) — explicação e procedimento:
- Para declividade e rugosidade fixas,
depende da profundidade por
Então a vazão máxima em escoamento livre (sem pressurizar o tubo) é o máximo desta função quando
(ou até
se o máximo ocorrer cheio).
- Em prática de prova, fazemos avaliações numéricas de
em profundidades diferentes e identificamos o máximo. Abaixo faço algumas avaliações rápidas próximas da parte superior, porque já vimos que aumenta quando sobe além de .
Avaliações (cálculos resumidos):
- Para
obtém-se , , resultando em . - Para
obtém-se , , resultando em . - Para
obtém-se , , resultando em . - Para
obtém-se .
Observação: os valores acima foram obtidos usando as fórmulas do Passo 2 e substituindo numericamente; percebe-se que
atinge um máximo em torno de
com
. Portanto a capacidade máxima de vazão em condição de escoamento livre é aproximadamente
.
Resposta
(a)
e
(b)
(c)
(b)
(c)