Por uma tubulação de 27 " de diâmetro e 1500 m de comprimento, passa uma vazão de
de água. Em uma determinada seção, a tubulação divide-se em dois trechos iguais de 18" de diâmetro, 3000 m de comprimento, descarregando livremente na atmosfera. Em um destes trechos, toda a vazão que entra na extremidade de montante é distribuída ao longo da tubulação, com uma vazão por unidade de comprimento uniforme e, no outro, metade da vazão que entra é distribuída uniformemente ao 3longo do trecho. Adotando para todas as tubulações um fator de atrito
e supondo que todo o sistema está em um plano horizontal, determine a diferença de carga entre as seções de entrada e a saída. Despreze as perdas singulares. Dados:
Passo 1
O enunciado pede a diferença de carga (head) entre a seção de entrada da tubulação principal e a saída (atmosfera), sabendo que: pela tubulação AB (diâmetro 27", comprimento
) passa a vazão total
. Em uma seção a tubulação divide-se em dois ramos iguais (cada um diâmetro 18", comprimento
) que descarregam livremente na atmosfera. Em um dos ramos (chamarei de ramo 1) toda a vazão que entra neste ramo é distribuída uniformemente ao longo do comprimento (ou seja, o fluxo que entra no montante vai decrescendo linearmente até zero na jusante). No outro ramo (ramo 2) metade da vazão que entra é distribuída uniformemente ao longo do trecho e a outra metade chega até a extremidade e descarrega ali. Todas as tubulações têm fator de atrito
e o sistema está em plano horizontal. Desprezam-se perdas singulares. Dados que vamos usar explicitamente (peguei do enunciado):
,
,
; os dois ramos têm
. O que precisamos achar:
.
Passo 2
Estratégia geral (o que vamos fazer, sem ainda calcular): aplicar conservação de massa no nó de divisão para obter
(onde
e
são as vazões que entram nos ramos 1 e 2, respectivamente), e escrever a condição de igualdade de carga em B (o nó de divisão): a carga piezométrica no nó é a mesma para os dois ramos; essa carga no nó deve ser suficiente para alimentar o escoamento ao longo de cada ramo até suas saídas. Assim vamos: (a) obter expressões analíticas para a perda de carga por atrito ao longo de um ramo quando a vazão varia linearmente ao longo do comprimento (integração da expressão diferencial de perda de carga), (b) escrever as duas expressões de carga exigida por cada ramo (ramo 1 e ramo 2) e igualá-las para obter relação entre
e
, (c) usar
para encontrar
e
, (d) calcular a carga no nó
, (e) calcular a perda de carga na tubulação AB e somar com
para obter
(a saída sendo atmosfera com referência zero), ou seja
.
Passo 3
Conversões e áreas dos tubos — preparação numérica: converter polegadas para metros e calcular as áreas, porque vamos precisar das velocidades locais
.
- Conversão:
. - Diâmetros:
- Áreas (fórmula da área de seção circular
):
Passo 4
Perda de carga na tubulação AB (trecho único, vazão constante
): usamos a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito numa tubulação com fluxo uniforme:
onde
é o fator de atrito (dado),
comprimento,
diâmetro,
velocidade média na seção e
aceleração da gravidade. Explicando as variáveis:
(vazão volumétrica dividida pela área),
. Primeiro calculamos a velocidade em AB:
Agora a perda:
logo
Passo 5
Perda de carga em um ramo com vazão que varia linearmente — dedução geral (aula curta e necessária):
Se em um ramo a vazão que passa pela seção a montante é (função da distância
desde a entrada do ramo), em um pequeno elemento
a perda de carga por atrito é
Se em um ramo a vazão que passa pela seção a montante é
com
. Integrando de
até
,
Ou seja, a perda total depende da integral do quadrado da vazão ao longo do comprimento. Essa fórmula é exatamente a Darcy–Weisbach aplicada localmente e integrada. Agora aplicamos para os dois casos (ramo 1 e ramo 2), onde
varia linearmente.
Passo 6
Ramo 1 (toda a vazão que entra é distribuída uniformemente até zero na extremidade): aqui a vazão que entra no ramo é
(valor no nó). A distribuição uniforme significa que a vazão por unidade de comprimento é
e assim a vazão remanescente à montante de uma seção a distância
da entrada é
Calculamos a integral:
Portanto a perda de carga por atrito no ramo 1 é
onde usei
. Observação didática: se o fluxo fosse inteiro e constante por todo o comprimento, a perda seria
; aqui, por diminuir linearmente até zero, o fator eficaz cai para
.
Passo 7
Ramo 2 (metade da vazão de entrada é distribuída uniformemente ao longo do trecho, metade chega à extremidade): se a vazão que entra no ramo é
, a vazão distribuída ao longo do comprimento é metade:
. Assim a vazão por unidade de comprimento é
e a vazão remanescente na distância
é
Calculamos a integral
(Detalhe: esse resultado vem direto da expansão e integração — fizemos isso na dedução.) Então a perda por atrito no ramo 2 é
onde
. Além disso, há vazão remanescente na extremidade do ramo
, que sai na atmosfera com velocidade
portanto a carga piezométrica exigida no nó (p/γ + v^2/(2g)) para que o escoamento chegue até a extremidade tem que suprir tanto
quanto a energia cinética restante na extremidade:
Expliquei: o termo
vem de
na velocidade residual ao quadrado.
Passo 8
Igualdade de cargas no nó B entre os dois ramos — equacionando para encontrar
versus
:
- Pelo ramo 1 temos
- Pelo ramo 2 temos
Igualando essas expressões e cancelando o fator comum
(e lembrando que
e as áreas dos ramos são iguais), obtemos
Como
(áreas iguais), definimos
. Assim
Essa expressão nos dá
em termos do parâmetro
(que é conhecido numericamente). Agora vamos calcular numericamente.
Passo 9
Cálculo numérico da relação e das vazões
:
- Primeiro o parâmetro
para os ramos:
- Calcule os coeficientes:
- Assim
- Pela conservação de massa
e , então
Passo 10
Calcular a carga no nó
e a diferença total de carga
:
- Velocidades nos ramos na entrada (usamos
etc.): - Carga piezométrica no nó (usando expressão do ramo 1, mais simples):
(mesma resposta se usar a expressão do ramo 2, por consistência). - Já tínhamos a perda na tubulação AB:
- Finalmente, a diferença de carga entre a seção de entrada e a saída (atmosfera tomada como referência zero) é