Mostrar que:
onde
é o tensor identidade dado por
(delta de Kröenecher).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
onde estão dadas as seguintes informações relevantes:
-
é o tensor identidade, dado por (delta de Kronecker). -
é um escalar (uma quantidade numérica). -
é um campo vetorial (por exemplo, velocidade) e é o seu tensor gradiente. - O símbolo
representa a dupla contração (contracao de ordem 2) entre tensores de segunda ordem.
A tarefa é demonstrar, passo a passo, que a igualdade acima vale para qualquer campoe qualquer escalar .
Passo 2
Vamos explicar a notação de componentes (isso é essencial para entender a conta):
- Usamos a convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam somatório sobre esses índices. Por exemplo,
significa . - Os componentes do tensor identidade são
, com a propriedade fundamental
para qualquer vetor cujos componentes sejam
. Isso significa que
“seleciona” o componente
de
.
- Os componentes do gradiente de
costumam ser escritos como
ou seja, a linha
e coluna
contém a derivada parcial de
em relação a
.
- A dupla contração entre dois tensores
e é dada por
isto é, soma sobre
e
.
Passo 3
Agora aplicamos essas definições ao lado esquerdo da igualdade pedida. Escrevemos tudo em componentes e usamos que
é escalar (pode ser fatorado):
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Use a propriedade do delta de Kronecker para simplificar
. Aplicando
com
(observe que o índice livre é
), temos
Portanto
Passo 5
Reconhecemos que a soma
(soma sobre
) é exatamente a divergência do campo
. Em notação vetorial:
Substituindo na expressão anterior, concluímos
Passo 6
Comentário rápido (útil na prova): uma maneira alternativa e curta de lembrar disso é notar que
para qualquer tensor
(a contração com a identidade dá a traça). Como
, então
e daí multiplicando por
vem o resultado. Mas, na hora da prova, é bom saber fazer a conta em índices como fizemos.