Mostrar que:
s \mathbf{I}: \nabla \mathbf{v}=s(\nabla \cdot \mathbf{v}) onde \mathbf{I} é o tensor identidade dado por \mathbf{I}=\delta_{i j} (delta de Kröenecher).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s(\nabla \cdot \mathbf{v}),
onde estão dadas as seguintes informações relevantes:
  • \mathbf{I} é o tensor identidade, dado por \mathbf{I}=\delta_{ij} (delta de Kronecker).
  • s é um escalar (uma quantidade numérica).
  • \mathbf{v} é um campo vetorial (por exemplo, velocidade) e \nabla \mathbf{v} é o seu tensor gradiente.
  • O símbolo : representa a dupla contração (contracao de ordem 2) entre tensores de segunda ordem.
    A tarefa é demonstrar, passo a passo, que a igualdade acima vale para qualquer campo \mathbf{v} e qualquer escalar s.

Passo 2

Vamos explicar a notação de componentes (isso é essencial para entender a conta):
  • Usamos a convenção de soma de Einstein: índices repetidos implicam somatório sobre esses índices. Por exemplo, a_i b_i significa \sum_i a_i b_i.
  • Os componentes do tensor identidade são \delta_{ij}, com a propriedade fundamental
\delta_{ij} a_j = a_i
para qualquer vetor cujos componentes sejam a_j. Isso significa que \delta_{ij} “seleciona” o componente i de a_j.
  • Os componentes do gradiente de \mathbf{v} costumam ser escritos como
(\nabla \mathbf{v})_{ij} = \partial_j v_i,
ou seja, a linha i e coluna j contém a derivada parcial de v_i em relação a x_j.
  • A dupla contração entre dois tensores A e B é dada por
A : B = A_{ij} B_{ij},
isto é, soma sobre i e j.

Passo 3

Agora aplicamos essas definições ao lado esquerdo da igualdade pedida. Escrevemos tudo em componentes e usamos que s é escalar (pode ser fatorado):
s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s\, (\mathbf{I} : \nabla \mathbf{v}) = s\, (I_{ij} (\nabla \mathbf{v})_{ij}).
Substituindo I_{ij}=\delta_{ij} e (\nabla \mathbf{v})_{ij}=\partial_j v_i, obtemos
s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s\, (\delta_{ij} \partial_j v_i).

Passo 4

Use a propriedade do delta de Kronecker para simplificar \delta_{ij} \partial_j v_i. Aplicando \delta_{ij} a_j = a_i com a_j=\partial_j v_i (observe que o índice livre é i), temos
\delta_{ij} \partial_j v_i = \partial_i v_i.
Portanto
s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s\, \partial_i v_i.

Passo 5

Reconhecemos que a soma \partial_i v_i (soma sobre i) é exatamente a divergência do campo \mathbf{v}. Em notação vetorial:
\partial_i v_i = \nabla \cdot \mathbf{v}.
Substituindo na expressão anterior, concluímos
s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s\, (\nabla \cdot \mathbf{v}).

Passo 6

Comentário rápido (útil na prova): uma maneira alternativa e curta de lembrar disso é notar que \mathbf{I} : A = \operatorname{tr}(A) para qualquer tensor A (a contração com a identidade dá a traça). Como \operatorname{tr}(\nabla \mathbf{v})=\nabla\cdot\mathbf{v}, então \mathbf{I}:\nabla\mathbf{v}=\nabla\cdot\mathbf{v} e daí multiplicando por s vem o resultado. Mas, na hora da prova, é bom saber fazer a conta em índices como fizemos.

Resposta

s \mathbf{I} : \nabla \mathbf{v} = s(\nabla \cdot \mathbf{v})

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