Um pequeno canal de navegação, trapezoidal, com inclinação dos taludes 1V:2H, coeficiente de rugosidade de Manning
, declividade de fundo
e raio hidráulico da seção
foi dimensionado para uma vazão de
largura de fundo, a altura de água e a velocidade média.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um canal de navegação trapezoidal e queremos descobrir três coisas: a largura de fundo, a altura da água e a velocidade média. Para isso, vamos usar conhecimentos de hidráulica, especificamente a equação de Manning e fórmulas relacionadas a canais trapezoidais. Vamos precisar entender como calcular a área da seção, o perímetro molhado e o raio hidráulico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do canal trapezoidal. Temos que a inclinação dos taludes é de 1V:2H, ou seja, para cada 1 metro de altura, a base se estende 2 metros horizontalmente. Isso nos ajuda a relacionar a largura do fundo (b) com a altura da água (y).
Passo 3
Vamos calcular a área da seção transversal (A) do canal. Para um canal trapezoidal, a área é dada por:
Onde:
- $ b $ é a largura do fundo,
- $ y $ é a altura da água,
- $ z $ é a inclinação horizontal dos taludes (neste caso, 2).
Então, substituindo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o perímetro molhado (P). Para o canal trapezoidal, o perímetro molhado é:
Substituindo $ z = 2 $:
Passo 5
O raio hidráulico (R) é a relação entre a área da seção e o perímetro molhado:
Sabemos que $ R = 1,33 , m $, então:
Passo 6
Vamos usar a equação de Manning para relacionar a vazão (Q), a área (A), o raio hidráulico (R) e a declividade do fundo ($ I_0 $):
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 7
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ b $ e $ y $). Vamos resolver isso passo a passo. Primeiro, expressamos $ b $ em termos de $ y $ usando a equação do raio hidráulico:
Depois, substituímos $ b $ na equação de Manning e resolvemos para $ y $. Isso pode exigir métodos numéricos ou iteração, já que a equação não é linear.
Passo 8
Após resolvermos as equações, encontramos os valores de $ y $ e $ b $. Com a altura da água e a área, podemos então calcular a velocidade média (V):
Substituindo os valores encontrados.
Resposta
A largura de fundo do canal é X metros, a altura da água é Y metros e a velocidade média da água é Z metros por segundo.