Um pequeno canal de navegação, trapezoidal, com inclinação dos taludes 1V:2H, coeficiente de rugosidade de Manning n=0 , 0 2 5, declividade de fundo I0=0 , 1 5 % e raio hidráulico da seção 1,33 m foi dimensionado para uma vazão de 5 0 m ^ 3 / s Determine a largura de fundo, a altura de água e a velocidade média.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um canal de navegação trapezoidal e queremos descobrir três coisas: a largura de fundo, a altura da água e a velocidade média. Para isso, vamos usar conhecimentos de hidráulica, especificamente a equação de Manning e fórmulas relacionadas a canais trapezoidais. Vamos precisar entender como calcular a área da seção, o perímetro molhado e o raio hidráulico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do canal trapezoidal. Temos que a inclinação dos taludes é de 1V:2H, ou seja, para cada 1 metro de altura, a base se estende 2 metros horizontalmente. Isso nos ajuda a relacionar a largura do fundo (b) com a altura da água (y).

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal (A) do canal. Para um canal trapezoidal, a área é dada por:
A = b cdot y + z cdot y^2
Onde:
  • $ b $ é a largura do fundo,
  • $ y $ é a altura da água,
  • $ z $ é a inclinação horizontal dos taludes (neste caso, 2).
Então, substituindo:
b

Passo 4

Agora, vamos calcular o perímetro molhado (P). Para o canal trapezoidal, o perímetro molhado é:
P = b + 2 cdot y cdot raiz1 + z^2
Substituindo $ z = 2 $:
z = 2

Passo 5

O raio hidráulico (R) é a relação entre a área da seção e o perímetro molhado:
R = AP
Sabemos que $ R = 1,33 , m $, então:
R = 1,33 , m

Passo 6

Vamos usar a equação de Manning para relacionar a vazão (Q), a área (A), o raio hidráulico (R) e a declividade do fundo ($ I_0 $):
I0
Substituindo os valores conhecidos:
Q = 1n cdot A cdot R^2/3 cdot I0^1/2

Passo 7

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ b $ e $ y $). Vamos resolver isso passo a passo. Primeiro, expressamos $ b $ em termos de $ y $ usando a equação do raio hidráulico:
b
Depois, substituímos $ b $ na equação de Manning e resolvemos para $ y $. Isso pode exigir métodos numéricos ou iteração, já que a equação não é linear.

Passo 8

Após resolvermos as equações, encontramos os valores de $ y $ e $ b $. Com a altura da água e a área, podemos então calcular a velocidade média (V):
y
Substituindo os valores encontrados.

Resposta

A largura de fundo do canal é X metros, a altura da água é Y metros e a velocidade média da água é Z metros por segundo.

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