Determine a altura de água e a declividade de fundo de um canal trapezoidal com taludes
, coeficiente de rugosidade
, vazão
, largura de fundo igual a 2,0
e velocidade média de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar duas coisas: a altura da água e a declividade do fundo de um canal trapezoidal. Para isso, vamos usar alguns conceitos importantes de hidráulica, como a Equação da Continuidade e a Equação de Manning. Vamos precisar também saber como calcular a Área e o Raio Hidráulico de um canal trapezoidal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada informação do problema significa:
- Vazão (Q): 2,0 m³/s. Isso é a quantidade de água que passa pelo canal por segundo.
- Velocidade média (V): 0,80 m/s. É a velocidade com que a água está se movendo.
- Largura do fundo (b): 2,0 m. É a largura na parte mais baixa do canal.
- Taludes (z): 3H:1V. Isso significa que para cada 1 metro de altura, o talude se estende 3 metros horizontalmente.
- Coeficiente de rugosidade (n): 0,030. Esse valor está na Equação de Manning e indica o atrito da superfície do canal.
Passo 3
Vamos começar encontrando a Área da seção transversal (A) do canal. A Equação da Continuidade nos diz que:
Onde:
- $ Q $ é a vazão,
- $ V $ é a velocidade,
- $ A $ é a área.
Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ A $:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos expressar a Área (A) em termos da altura da água ($ h $) para um canal trapezoidal. A fórmula é:
Onde:
- $ b $ é a largura do fundo,
- $ z $ é a razão dos taludes,
- $ h $ é a altura da água.
Sabemos que $ A = 2,5 , m^2 $, $ b = 2,0 , m $ e $ z = 3 $. Então:
Simplificando a equação:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática para resolver e encontrar a altura da água ($ h $). A equação é:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 3 $,
- $ b = 2 $,
- $ c = -2,5 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Agora, substituindo na fórmula:
A raiz positiva faz sentido no contexto, então:
Vamos arredondar para duas casas decimais:
Passo 6
Agora que encontramos a altura da água ($ h \approx 0,64 , m
S $) usando a Equação de Manning:
Onde:
- $ V $ é a velocidade,
- $ n $ é o coeficiente de rugosidade,
- $ R $ é o raio hidráulico,
- $ S $ é a declividade.
Primeiro, vamos calcular o Raio Hidráulico ®:
Onde $ P $ é o perímetro molhado. Para o canal trapezoidal:
Substituindo os valores:
Então,
Passo 7
Agora, voltando à Equação de Manning:
Queremos encontrar $ S $. Vamos rearranjar a equação:
Substituindo os valores:
Calculando $ R^{2/3} $:
Então,
Convertendo para porcentagem:
Resposta
A altura da água é aproximadamente 0,64 metros e a declividade do fundo do canal é de cerca de 0,19%.