Determine a altura de água e a declividade de fundo de um canal trapezoidal com taludes 3 H: 1 V, coeficiente de rugosidade n=0 , 0 3 0, vazão 2,0 m^3 / s, largura de fundo igual a 2,0 m e velocidade média de 0 , 8 0 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar duas coisas: a altura da água e a declividade do fundo de um canal trapezoidal. Para isso, vamos usar alguns conceitos importantes de hidráulica, como a Equação da Continuidade e a Equação de Manning. Vamos precisar também saber como calcular a Área e o Raio Hidráulico de um canal trapezoidal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada informação do problema significa:
  • Vazão (Q): 2,0 m³/s. Isso é a quantidade de água que passa pelo canal por segundo.
  • Velocidade média (V): 0,80 m/s. É a velocidade com que a água está se movendo.
  • Largura do fundo (b): 2,0 m. É a largura na parte mais baixa do canal.
  • Taludes (z): 3H:1V. Isso significa que para cada 1 metro de altura, o talude se estende 3 metros horizontalmente.
  • Coeficiente de rugosidade (n): 0,030. Esse valor está na Equação de Manning e indica o atrito da superfície do canal.

Passo 3

Vamos começar encontrando a Área da seção transversal (A) do canal. A Equação da Continuidade nos diz que:
Q = V times A
Onde:
  • $ Q $ é a vazão,
  • $ V $ é a velocidade,
  • $ A $ é a área.
Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ A $:
Q
Substituindo os valores:
V

Passo 4

Agora, vamos expressar a Área (A) em termos da altura da água ($ h $) para um canal trapezoidal. A fórmula é:
h
Onde:
  • $ b $ é a largura do fundo,
  • $ z $ é a razão dos taludes,
  • $ h $ é a altura da água.
Sabemos que $ A = 2,5 , m^2 $, $ b = 2,0 , m $ e $ z = 3 $. Então:
A = b times h + z times h^2
Simplificando a equação:
b

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática para resolver e encontrar a altura da água ($ h $). A equação é:
h
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
3h^2 + 2h - 2,5 = 0
Onde:
  • $ a = 3 $,
  • $ b = 2 $,
  • $ c = -2,5 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
h = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Agora, substituindo na fórmula:
a = 3
A raiz positiva faz sentido no contexto, então:
b = 2
Vamos arredondar para duas casas decimais:
c = -2,5

Passo 6

Agora que encontramos a altura da água ($ h \approx 0,64 , m h approx 0,64 , m S $) usando a Equação de Manning:
S
Onde:
  • $ V $ é a velocidade,
  • $ n $ é o coeficiente de rugosidade,
  • $ R $ é o raio hidráulico,
  • $ S $ é a declividade.
Primeiro, vamos calcular o Raio Hidráulico ®:
V = 1n R^2/3 S^1/2
Onde $ P $ é o perímetro molhado. Para o canal trapezoidal:
V
Substituindo os valores:
n
Então,
R

Passo 7

Agora, voltando à Equação de Manning:
V = 1n R^2/3 S^1/2
Queremos encontrar $ S $. Vamos rearranjar a equação:
S
Substituindo os valores:
S = ( V times nR^2/3 )^2
Calculando $ R^{2/3} $:
S = ( 0,80 times 0,0300,413^2/3 )^2
Então,
R^2/3
Convertendo para porcentagem:
0,413^2/3 approx 0,413^0,6667 approx 0,550

Resposta

A altura da água é aproximadamente 0,64 metros e a declividade do fundo do canal é de cerca de 0,19%.

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