O gálio se organiza numa estrutura ortorrômbica, com \mathrm{a}_{\mathrm{o}}=0,45258 \mathrm{~nm}, \mathrm{~b}_{\mathrm{o}}=0,45186 \mathrm{~nm} e \mathrm{c}_{\mathrm{o}}=0,76570 \mathrm{~nm}. Ele tem um raio atômico de 0,1218 \mathrm{~nm}, densidade de 5,904 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e peso atômico de 69,72 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}. Determine:
a) O número de átomos em cada célula unitária;
b) O fator de empacotamento da célula unitária.

Passo 1

O enunciado descreve um cristal de gálio com estrutura ortorrômbica e parâmetros de rede
\mathrm{a}_{\mathrm{o}}=0,45258\,\mathrm{nm}, \mathrm{b}_{\mathrm{o}}=0,45186\,\mathrm{nm}, \mathrm{c}_{\mathrm{o}}=0,76570\,\mathrm{nm}. Temos também o raio atômico r=0,1218\,\mathrm{nm}, densidade \rho=5,904\,\mathrm{g/cm^{3}} e peso atômico A=69,72\,\mathrm{g/mol}.
Precisamos achar:
a) o número de átomos por célula unitária;
b) o fator de empacotamento da célula unitária.

Passo 2

Calcular o volume da célula unitária \displaystyle V_{\text{c}}. Primeiro convertemos cada aresta de \mathrm{nm} para \mathrm{cm} (sabendo que 1\,\mathrm{nm}=10^{-7}\,\mathrm{cm}) e depois fazemos o produto
V_{\text{c}} = a_{\mathrm{o}}\,b_{\mathrm{o}}\,c_{\mathrm{o}} = (0{,}45258\times10^{-7})(0{,}45186\times10^{-7})(0{,}76570\times10^{-7})\\ \mathrm{cm^{3}} \approx1{,}566\times10^{-22}\,\mathrm{cm^{3}}.

Passo 3

Determinar o número de átomos n por célula usando a relação entre densidade, volume de célula e massa atômica:
n =\frac{\rho\,V_{\text{c}}\,N_{\!A}}{A},
onde N_{\!A}=6,022\times10^{23}\,\mathrm{mol^{-1}}.
Substituindo,
n =\frac{(5{,}904\;\mathrm{g/cm^{3}})\,(1{,}566\times10^{-22}\;\mathrm{cm^{3}})\,(6{,}022\times10^{23}\;\mathrm{mol^{-1}})}{69{,}72\;\mathrm{g/mol}} \approx8,00.
Logo, há 8 átomos por célula unitária.

Passo 4

Calcular o fator de empacotamento (packing factor) \eta, definido por
\eta =\frac{\text{volume total dos átomos na célula}}{V_{\text{c}}} =\frac{n\,(V_{\text{átomo}})}{V_{\text{c}}},áéá
com o volume de cada átomo esférico dado por
V_{\text{átomo}} =\frac{4}{3}\pi r^{3} =\frac{4}{3}\pi\,(0{,}1218\,\mathrm{nm})^{3} \approx0{,}007568\;\mathrm{nm^{3}}.á
Como 1\,\mathrm{nm^{3}}=10^{-21}\,\mathrm{cm^{3}}, temos
n\,V_{\text{átomo}} =8\times0{,}007568\;\mathrm{nm^{3}} =0{,}060544\;\mathrm{nm^{3}} =0{,}060544\times10^{-21}\;\mathrm{cm^{3}} =6{,}0544\times10^{-23}\;\mathrm{cm^{3}}.á
Então
\eta =\frac{6{,}0544\times10^{-23}}{1{,}566\times10^{-22}} \approx0,387 \quad(\text{ou }38{,}7\%).

Resposta

a) 8 átomos por célula unitária.
b) Fator de empacotamento \eta\approx0,387 (ou 38,7\%).

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