gamma Instruções: Suas respostas têm que estar justificadas no quadro associado a cada pergunta. Contas auxiliares associadas a mudança de variavel, partes e frações simples tem que estar em sua resposta. Limites do tipo indeterminado calculados sem ser justificados não serão considerados.
Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral1^infty ln (x)x^6 d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral imprópria
integral1^inftyln(x)x^6,dx
Esse tipo de integral tem limite infinito no superior, então vamos estudar sua convergência e usar integração por partes para calcular.

Passo 2

Reescrevemos a integral imprópria como limite:

Passo 3

integral1^inftyln(x)x^6,dx =limbtoinftyintegral1^bln(x)x^6,dx

Passo 4

Para aplicar integração por partes no integrando ln(x)x^-6, fazemos
u=ln(x) e dv=x^-6dx.
Assim
du=dxx, v=integral x^-6dx=-15x^-5

Passo 5

Pela fórmula de partes integral u,dv=u v-integral v,du, obtemos
integralln(x)x^6dx = -ln(x)5x^5+15integral x^-6dx
Logo, em limites de 1 a b:
integral1^bln(x)x^6dx =[-ln(x)5x^5]1^b +15integral1^bx^-6dx

Passo 6

Agora avaliamos cada parte:
  1. Termo de contorno: limbtoinftyln(b)b^5=0 e em x=1, ln(1)=0, logo essa parcela some.
  2. Parcela restante:
15integral1^inftyx^-6dx =15[-15x^-5]1^infty =15l(0-(-tfrac15)r) =125

Resposta

\frac{1}{25}

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