Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x yx^2+3 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular lim(x,y)to(0,0)2xyx^2+3y^2. É um limite de função de duas variáveis. Vamos usar o teste de diferentes caminhos para ver se o valor depende da direção de chegada.

Passo 2

Considere o caminho y=mx. Substituindo na expressão, temos:
2x,(m x)x^2+3(m x)^2 = 2m x^2x^2(1+3m^2) = 2m1+3m^2

Passo 3

O resultado 2m1+3m^2 independe de x mas depende do coeficiente m. Por exemplo, para m=0 obtemos 0, e para m=1 obtemos tfrac12.
Como obtemos valores diferentes segundo o caminho escolhido, o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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