Encontre a solução geral das EDOs.
x^2 y^prime prime+0.7 x y^prime-0.1 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^2y''+0.7xy'-0.1y=0
Esse tipo de equação é uma equação de Euler–Cauchy, e vamos precisar da técnica de suposição de solução do tipo potência.

Passo 2

Para equações de Euler–Cauchy, a gente assume
y(x)=x^m
Então
y'(x)=m x^m-1, y''(x)=m(m-1)x^m-2

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original temos:
x^2igl(m(m-1)x^m-2r)+0.7xigl(m x^m-1r)-0.1x^m=0 
Fatorando x^m (não nulo para x>0) resulta na equação característica.

Passo 4

A equação característica fica:
m(m-1)+0.7m-0.1=0
Ou seja:
m^2-m+0.7m-0.1=0
Que simplifica para:
m^2-0.3m-0.1=0

Passo 5

Calculando o discriminante:
,De
Logo as raízes são
m=0.3pmraiz0.492=0.3pm0.72
Que dá m1=0.5 e m2=-0.2.

Passo 6

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por combinação linear das potências:
y(x)=C1x^0.5+C2x^-0.2

Resposta

y(x)=C1x^1/2+C2x^-1/5

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