Instruções: Suas respostas têm que estar justificadas no quadro associado a cada pergunta. Contas auxiliares associadas a mudança de variavel, partes e frações simples tem que estar em sua resposta. Limites do tipo indeterminado calculados sem ser justificados não serão considerados.
Considere
definida por
e determine
a derivada segunda de
.
Considere
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função
g(x)=\displaystyle\int_{0}{x{2}} \cos{5}(t),\sin{4}(t),dt
e queremos g’’(x). O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limite variável, junto com a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos achar g’(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia. Se definirmos f(u)=\cos{5}(u)\sin{4}(u), então
g(x)=\int_{0}{x{2}}f(t),dt \implies g’(x)=f(x{2})\cdot\frac{d}{dx}(x{2})=2x,\cos{5}(x{2})\sin{4}(x{2}).
Passo 3
Precisamos de f’(u). Como f(u)=\cos{5}(u)\sin{4}(u), usamos produto e cadeia. Primeiro:
d/du[\cos{5}(u)]=5\cos{4}(u)(-\sin(u)),
d/du[\sin{4}(u)]=4\sin{3}(u)\cos(u).
Logo,
f’(u)=5\cos{4}(u)(-\sin(u))\cdot\sin{4}(u)+\cos{5}(u)\cdot4\sin{3}(u)\cos(u).
Passo 4
Simplificamos f’(u) fatorando cos{4}(u)\sin{3}(u):
f’(u)=\cos{4}(u)\sin{3}(u)\bigl(-5\sin{2}(u)+4\cos{2}(u)\bigr).
Passo 5
Agora derivamos g’(x)=2x,f(x^{2}). Aplicando produto e cadeia:
g’’(x)=2,f(x^{2})+2x\cdot f’(x^{2})\cdot2x.
Passo 6
Substituindo f(x^{2}) e f’(x^{2}):
f(x{2})=\cos{5}(x{2})\sin{4}(x^{2}),
f’(x{2})=\cos{4}(x{2})\sin{3}(x{2})\bigl(-5\sin{2}(x{2})+4\cos{2}(x^{2})\bigr).
Assim,
g’’(x)=2\cos{5}(x{2})\sin{4}(x{2})+4x{2}\cos{4}(x{2})\sin{3}(x{2})\bigl(4\cos{2}(x{2})-5\sin{2}(x^{2})\bigr).
Resposta
\displaystyle g’’(x)=2\cos{5}(x{2})\sin{4}(x{2})+4x{2}\cos{4}(x{2})\sin{3}(x{2})\bigl(4\cos{2}(x{2})-5\sin{2}(x^{2})\bigr)