Problema 32

Um potencial de força central frequentemente encontrado em física nuclear é o poço retangular, definido pelo potencial
V(r)= \begin{cases}0, & r>a \\\\ -V_{0}, & r \leq a\end{cases}
Mostre que o espalhamento produzido por esse potencial, em mecânica clássica, é idêntico à refração de raios de luz por uma esfera de raio a e índice de refração relativo
n=\sqrt{\frac{E+V_{0}}{E}}
(Essa equivalência mostra por que foi possível explicar fenômenos de refração tanto pelas ondas de Huygens quanto pelos corpúsculos mecânicos de Newton.)
Mostre também que a seção de choque diferencial é
\sigma(\Theta)=\frac{n^{2} a^{2}}{4 \cos (\Theta / 2)} \frac{(n \cos (\Theta / 2)-1)(n-\cos (\Theta / 2))}{\left(1+n^{2}-2 n \cos (\Theta / 2)\right)^{2}}
Qual é a seção de choque total?

Passo 1

O enunciado dá um poço de potencial central com
V(r)=\begin{cases}0, & r>a,\\\\ -V_{0}, & r\le a,\end{cases}
e pede duas coisas:
  • Mostrar que o espalhamento clássico por esse potencial é idêntico à refração de raios por uma esfera de raio a com índice relativo
n=\sqrt{\frac{E+V_{0}}{E}}.
  • Mostrar que a seção de choque diferencial é
\sigma(\Theta)=\frac{n^{2} a^{2}}{4 \cos (\Theta / 2)} \frac{(n \cos (\Theta / 2)-1)(n-\cos (\Theta / 2))}{\left(1+n^{2}-2 n \cos (\Theta / 2)\right)^{2}}
e determinar a seção de choque total.
Informações relevantes fornecidas:
  • Potencial é esférico (central) com descontinuidade em r=a.
  • Energia total do incidente é E (energia mecânica), e V_0>0 corresponde a um poço (potencial mais baixo dentro).
  • Devemos usar leis da mecânica clássica (conservação de energia e momento angular) e a relação padrão entre impacto b e ângulo de espalhamento \Theta para potenciais centrais.

Passo 2

Energia e velocidades dentro e fora do poço; definição do índice efetivo.
Explicação e fórmulas usadas:
  • Conservação da energia mecânica dá, fora do poço, energia cinética associada T_{\text{out}}=E e, dentro do poço, T_{\text{in}}=E-V(r)=E+V_{0}.
  • A velocidade do corpo (de massa m) fora é
v=\sqrt{\frac{2E}{m}},
e dentro do poço é
v'=\sqrt{\frac{2(E+V_{0})}{m}}.
  • Definindo o índice de refração relativo (usado para estabelecer a analogia com óptica) como a razão das velocidades internas para externas,
n=\frac{v'}{v}=\sqrt{\frac{E+V_{0}}{E}}.
Este n é exatamente o dado no enunciado. Portanto a diferença de velocidade é análoga à mudança de velocidade da luz ao atravessar meios diferentes — aqui a mudança é causada pela variação do potencial.

Passo 3

Derivação da lei de Snell (ou sua análoga) a partir da conservação do momento angular.
Construção geométrica e notação:
  • Considere uma partícula chegand o de muito longe no eixo z com impacto b (distância do eixo ao caminho retilíneo assintótico). Ao atingir a superfície r=a ela forma com a normal radial um ângulo de incidência \alpha_i (ângulo entre a direção de voo e a normal radial). Geometricamente,
\sin\alpha_i=\frac{b}{a}.
  • No interior, a direção da velocidade forma com a normal radial um ângulo \alpha_t (transmitido/refratado). Geometricamente,
\sin\alpha_t=\frac{b}{a'_{\text{ef}}}
mas como o raio é a em ambos os lados e o ponto de interseção é o mesmo temos \sin\alpha_t=\dfrac{b}{a n_{\text{escala}}} — veremos fórmula explícita abaixo.
Conservação do momento angular:
  • O potencial é central, logo o momento angular em módulo L é conservado durante todo o movimento. No ponto de fronteira r=a isso implica que a componente tangencial do momento linear é contínua:
L = m v\, a\sin\alpha_i = m v' \, a\sin\alpha_t.
Dividindo por m a obtemos
v\sin\alpha_i = v'\sin\alpha_t.
Usando n=v'/v resulta
\sin\alpha_i = n\sin\alpha_t.
Isto é a análoga da lei de Snell: a razão entre os senos dos ângulos é a razão das velocidades (aqui n). Note que, se n>1, \alpha_t será menor que \alpha_i (o raio “se aproxima” mais do eixo no interior), o que corresponde ao fato de acelerar no interior do poço.
Concluímos: a refração geométrica (Snell) decorre diretamente da conservação do momento angular + conservação de energia, estabelecendo a equivalência pedida entre espalhamento clássico e refração óptica com n=\sqrt{(E+V_0)/E}.

Passo 4

Expressão do ângulo de espalhamento \Theta em função do parâmetro de impacto b.
Raciocínio geométrico:
  • Se definirmos \alpha_i=\arcsin(b/a) e \alpha_t=\arcsin(b/(n a)) (porque \sin\alpha_t = b/(n a) pela relação \sin\alpha_i = n \sin\alpha_t), então o desvio total do caminho, pela simetria entrada–saída na esfera, é duas vezes a diferença entre \alpha_i e \alpha_t. Portanto o ângulo de espalhamento (desvio entre direção entrante e saída) é
\Theta(b)=2\bigl(\alpha_i-\alpha_t\bigr)=2\Bigl(\arcsin\frac{b}{a}-\arcsin\frac{b}{n a}\Bigr).
Esta é a relação que liga b a \Theta — é exatamente a mesma relação que obtém-se para raios refratados por uma esfera.

Passo 5

Fórmula geral da seção de choque diferencial e preparação para cálculo.
Fórmula usada:
  • Para espalhamento central em três dimensões, a seção de choque diferencial (por unidade de ângulo sólido) é dada por
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b}{\sin\Theta}\left|\frac{db}{d\Theta}\right|.
Neste caso há uma única relação unívoca b\mapsto\Theta para 0\le b\le a (fora disso \Theta=0). Vamos calcular db/d\Theta a partir da expressão de \Theta(b).
Conveniente: definir a variável adimensional
u=\frac{b}{a},
e escrever
\Theta(u)=2\Bigl(\arcsin u-\arcsin\frac{u}{n}\Bigr).
Assim
\frac{d\Theta}{du}=2\left(\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}-\frac{1}{n\sqrt{1-u^{2}/n^{2}}}\right).
Voltando a b, como u=b/a,
\frac{d\Theta}{db}=\frac{1}{a}\frac{d\Theta}{du}=\frac{2}{a}\left(\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}-\frac{1}{n\sqrt{1-u^{2}/n^{2}}}\right).
Portanto
\left|\frac{db}{d\Theta}\right|=\frac{a}{2}\left[\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}-\frac{1}{n\sqrt{1-u^{2}/n^{2}}}\right]^{-1}.

Passo 6

Algebra intermediária: simplificação racional do jacobiano.
Denote
A=\sqrt{1-u^{2}},\qquad B=\sqrt{1-\frac{u^{2}}{n^{2}}}.
Então
\frac{d\Theta}{db}=\frac{2}{a}\Bigl(\frac{1}{A}-\frac{1}{nB}\Bigr)=\frac{2}{a}\frac{nB-A}{nAB},
e assim
\left|\frac{db}{d\Theta}\right|=\frac{a}{2}\frac{nAB}{\,nB-A\,}.
A seção de choque diferencial fica
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{b}{\sin\Theta}\left|\frac{db}{d\Theta}\right| =\frac{a u}{\sin\Theta}\cdot\frac{a nAB}{2(nB-A)} =\frac{n a^{2} u A B}{2(nB-A)\sin\Theta}.
Agora vamos reescrever \sin\Theta em termos de u,A,B. Como \Theta=2(\varphi-\psi) com \varphi=\arcsin u e \psi=\arcsin(u/n), tem-se
\sin\frac{\Theta}{2}=\sin(\varphi-\psi)=uB-\frac{uA}{n}=u\Bigl(B-\frac{A}{n}\Bigr).
Portanto
\sin\Theta=2\sin\frac{\Theta}{2}\cos\frac{\Theta}{2}=2u\Bigl(B-\frac{A}{n}\Bigr)\cos\frac{\Theta}{2}.
Substituindo em d\sigma/d\Omega e simplificando os fatores u obtemos
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{n a^{2}AB}{4\cos(\Theta/2)}\cdot\frac{n}{(nB-A)^{2}}.
(Isto foi obtido usando B-\dfrac{A}{n}=\dfrac{nB-A}{n}.)

Passo 7

Identidade final para expressar tudo em termos de \cos(\Theta/2) e n, e obtenção da expressão pedida.
Defina C=\cos(\Theta/2). A seguir há duas identidades úteis (obtidas por relações trigonométricas entre \varphi,\psi,u,A,B):
  1. (nB-A)^{2}=1+n^{2}-2nC.
  2. AB=\frac{(nC-1)(n-C)}{1+n^{2}-2nC}.
A identidade (2) pode ser derivada eliminando u entre as relações C=AB+u^{2}/n e \sin^{2}(\Theta/2)=1-C^{2}=u^{2}(B-A/n)^{2}; fazer essa eliminação dá a expressão para u^{2} e, substituída em AB=C-u^{2}/n, fornece (2). (No passo anterior já usamos a estrutura que leva a essas identidades.)
Substituindo (1) e (2) em
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{n^{2} a^{2}AB}{4\cos(\Theta/2)(nB-A)^{2}}
temos
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{n^{2} a^{2}}{4\cos(\Theta/2)}\cdot\frac{(nC-1)(n-C)}{(1+n^{2}-2nC)^{2}},
ou, voltando C=\cos(\Theta/2),
\boxed{\displaystyle \sigma(\Theta)=\frac{n^{2} a^{2}}{4 \cos (\Theta / 2)} \frac{(n \cos (\Theta / 2)-1)(n-\cos (\Theta / 2))}{\left(1+n^{2}-2 n \cos (\Theta / 2)\right)^{2}}.}
Isto coincide com a expressão dada no enunciado.

Passo 8

Seção de choque total.
Interpretação física e cálculo simples:
  • Um feixe de partículas paralelas incide sobre o centro do potencial. Apenas partículas com parâmetro de impacto b\le a penetram na região do poço (ou, geometricamente, “tocam” a esfera de raio a); partículas com b>a não sentem força (potencial fora é zero) e seguem retilíneas sem desvio ( \Theta=0).
  • Portanto todas as partículas com b\le a são desviadas (em algum ângulo \Theta\neq0) e constituem a seção de choque efetiva. A área do disco de raio a é a seção de choque geométrica:
\sigma_{\text{tot}}=\pi a^{2}.
Alternativamente, integrando \dfrac{d\sigma}{d\Omega} por todo o ângulo sólido (ignorando a contribuição singular na frente \Theta=0 de partículas com b>a) obtém-se o mesmo resultado: \pi a^{2}. Assim a seção de choque total é a seção geométrica da esfera.

Resposta

\displaystyle \sigma(\Theta)=\frac{n^{2} a^{2}}{4 \cos (\Theta / 2)} \frac{(n \cos (\Theta / 2)-1)(n-\cos (\Theta / 2))}{\left(1+n^{2}-2 n \cos (\Theta / 2)\right)^{2}}
\displaystyle \sigma_{\text{tot}}=\pi a^{2}

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