QUESTÃO 4. Duas cascas condutoras concêntricas têm raios R_{1}=0,500 m e R_{2}=1,00 m, cargas uniformes q_{1}=+2,00 μC e q_{2}=+1,00 μC e espessura insignificante. Com V=0 no infinito, determine V para (a) r=4,00 m, (b) r=0,700 m, (c) r=0,200 m, (d)
r=0,0. (e) Plote V®.

Passo 1

O enunciado apresenta duas cascas esféricas condutoras concêntricas com raios
R_{1}=0{,}500\\ \mathrm{m},\quad R_{2}=1{,}00\\ \mathrm{m},
e cargas uniformes
q_{1}=+2{,}00\\ \mu\mathrm C,\quad q_{2}=+1{,}00\\ \mu\mathrm C,
e pede o potencial elétrico V(r) em vários pontos, sabendo que
V(\infty)=0.
O conteúdo usado será a superposição de potenciais de cascas esféricas, lembrando que para uma casca de carga q e raio R:
  • fora da casca r>R vale
V(r)=k\,\frac{q}{r},
  • dentro da casca r<R vale
V(r)=k\,\frac{q}{R},
com k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.

Passo 2

Como as duas cascas são concêntricas, por superposição temos três regiões:
V(r)= \begin{cases} k\,\dfrac{q_{1}+q_{2}}{r}, & r>R_{2},\\[6pt] k\,\dfrac{q_{1}}{r}+k\,\dfrac{q_{2}}{R_{2}}, & R_{1}<r<R_{2},\\[6pt] k\,\dfrac{q_{1}}{R_{1}}+k\,\dfrac{q_{2}}{R_{2}}, & r<R_{1}. \end{cases}]

Passo 3

Convertemos as cargas para coulomb:
q_{1}=2{,}00\times10^{-6}\,\mathrm C,\quad q_{2}=1{,}00\times10^{-6}\,\mathrm C.

Passo 4

(a) Para r=4{,}00\\ \mathrm m, estamos em r>R_{2}, logo
V(4{,}00)=k\,\frac{q_{1}+q_{2}}{4{,}00} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{3{,}00\times10^{-6}}{4{,}00} \approx6{,}74\times10^{3}\\ \mathrm V.

Passo 5

(b) Para r=0{,}700\\ \mathrm m, temos R_{1}<r<R_{2}, então
V(0{,}700) =k\,\frac{q_{1}}{0{,}700} +k\,\frac{q_{2}}{1{,}00} =8{,}99\times10^{9}\biggl(\frac{2{,}00\times10^{-6}}{0{,}700}+\frac{1{,}00\times10^{-6}}{1{,}00}\biggr) \approx3{,}47\times10^{4}\\ \mathrm V.

Passo 6

(c) Para r=0{,}200\\ \mathrm m, e (d) para r=0, ambas caem em r<R_{1}, onde
V =k\,\frac{q_{1}}{R_{1}} +k\,\frac{q_{2}}{R_{2}} =8{,}99\times10^{9}\biggl(\frac{2{,}00\times10^{-6}}{0{,}500}+\frac{1{,}00\times10^{-6}}{1{,}00}\biggr) \approx4{,}50\times10^{4}\\ \mathrm V.

Passo 7

(e) O gráfico de V(r) versus r é então:
  • para r>1{,}00\\ \mathrm m, decai como 1/r até zero em r\to\infty,
  • para 0{,}500<r<1{,}00\\ \mathrm m, decai mais acentuado (só a parte kq_{1}/r) somado a uma constante kq_{2}/R_{2},
  • para r<0{,}500\\ \mathrm m, V(r) é constante igual a 4{,}50\times10^{4}\\ \mathrm V.
Uma maneira de visualizar é desenhar três ramos contínuos que se unem suavemente em r=R_{1} e r=R_{2}, com o ramo interno horizontal, o do meio caindo como 1/r e o externo também caindo como 1/r até se anular no infinito.

Resposta

(a) V(4{,}00\\ \mathrm m)\approx6{,}74\times10^{3}\\ \mathrm V
(b) V(0{,}700\\ \mathrm m)\approx3{,}47\times10^{4}\\ \mathrm V
(c) V(0{,}200\\ \mathrm m)\approx4{,}50\times10^{4}\\ \mathrm V
(d) V(0)=4{,}50\times10^{4}\\ \mathrm V
(e)
V(r)= \begin{cases} 8{,}99\times10^{9}\,\dfrac{q_{1}+q_{2}}{r}, & r>1{,}00,\\[4pt] 8{,}99\times10^{9}\,\dfrac{q_{1}}{r}+8{,}99\times10^{9}\,\dfrac{q_{2}}{1{,}00}, & 0{,}500<r<1{,}00,\\[4pt] 8{,}99\times10^{9}\,\dfrac{q_{1}}{0{,}500}+8{,}99\times10^{9}\,\dfrac{q_{2}}{1{,}00}, & r<0{,}500. \end{cases}]

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