QUESTÃO 4. Duas cascas condutoras concêntricas têm raios R_{1}=0,500 m e R_{2}=1,00 m, cargas uniformes q_{1}=+2,00 μC e q_{2}=+1,00 μC e espessura insignificante. Com V=0 no infinito, determine V para (a) r=4,00 m, (b) r=0,700 m, (c) r=0,200 m, (d)
r=0,0. (e) Plote V®.
Passo 1
O enunciado apresenta duas cascas esféricas condutoras concêntricas com raios
q_{1}=2{,}00\times10^{-6}\,\mathrm C,\quad q_{2}=1{,}00\times10^{-6}\,\mathrm C.
Passo 4
(a) Para r=4{,}00\\ \mathrm m, estamos em r>R_{2}, logo
V(4{,}00)=k\,\frac{q_{1}+q_{2}}{4{,}00} =8{,}99\times10^{9}\,\frac{3{,}00\times10^{-6}}{4{,}00} \approx6{,}74\times10^{3}\\ \mathrm V.
Passo 5
(b) Para r=0{,}700\\ \mathrm m, temos R_{1}<r<R_{2}, então
V(0{,}700) =k\,\frac{q_{1}}{0{,}700} +k\,\frac{q_{2}}{1{,}00} =8{,}99\times10^{9}\biggl(\frac{2{,}00\times10^{-6}}{0{,}700}+\frac{1{,}00\times10^{-6}}{1{,}00}\biggr) \approx3{,}47\times10^{4}\\ \mathrm V.
Passo 6
(c) Para r=0{,}200\\ \mathrm m, e (d) para r=0, ambas caem em r<R_{1}, onde
V =k\,\frac{q_{1}}{R_{1}} +k\,\frac{q_{2}}{R_{2}} =8{,}99\times10^{9}\biggl(\frac{2{,}00\times10^{-6}}{0{,}500}+\frac{1{,}00\times10^{-6}}{1{,}00}\biggr) \approx4{,}50\times10^{4}\\ \mathrm V.
Passo 7
(e) O gráfico de V(r) versus r é então:
para r>1{,}00\\ \mathrm m, decai como 1/r até zero em r\to\infty,
para 0{,}500<r<1{,}00\\ \mathrm m, decai mais acentuado (só a parte kq_{1}/r) somado a uma constante kq_{2}/R_{2},
para r<0{,}500\\ \mathrm m, V(r) é constante igual a 4{,}50\times10^{4}\\ \mathrm V.
Uma maneira de visualizar é desenhar três ramos contínuos que se unem suavemente em r=R_{1} e r=R_{2}, com o ramo interno horizontal, o do meio caindo como 1/r e o externo também caindo como 1/r até se anular no infinito.
Resposta
(a) V(4{,}00\\ \mathrm m)\approx6{,}74\times10^{3}\\ \mathrm V
(b) V(0{,}700\\ \mathrm m)\approx3{,}47\times10^{4}\\ \mathrm V
(c) V(0{,}200\\ \mathrm m)\approx4{,}50\times10^{4}\\ \mathrm V
(d) V(0)=4{,}50\times10^{4}\\ \mathrm V
(e)