Para repor a bola em jogo rapidamente, um goleiro dá um chute e a bola sai de seus pés com uma velocidade inicial de 30 \mathrm{m} / \mathrm{s}, cuja direção faz um ângulo de 30^{\circ} com o chão. Ela percorre, horizontalmente, 100 m do campo e entra no gol adversário. Considere a aceleração da gravidade 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, \cos 30^{\circ}=0,9 e \operatorname{sen} 30^{\circ}=0,5. Determine:
a) Quanto tempo ela levou para entrar no gol, desde que perdeu o contato com o pé do goleiro?
b) O tempo que essa bola permanece no ar.

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado e perguntas pedidas:
v_0 = 30\\ \mathrm{m/s},\qquad \theta = 30^\circ,
\text{deslocamento horizontal até o gol } x = 100\\ \mathrm{m},é
g = 10\\ \mathrm{m/s^2},\qquad \cos 30^\circ = 0{,}9,\qquad \sin 30^\circ = 0{,}5.
Perguntas:
a) Quanto tempo ela levou para entrar no gol, desde que perdeu o contato com o pé do goleiro?
b) Qual o tempo que essa bola permanece no ar?

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é básico em movimento de projéteis.
  • A componente horizontal da velocidade, \,v_{0x}\,, é a projeção de \,v_0\, sobre o eixo x: v_{0x} = v_0\cos\theta.
  • A componente vertical da velocidade, \,v_{0y}\,, é a projeção sobre o eixo y: v_{0y} = v_0\sin\theta.
Substituindo os valores dados:
v_{0x} = 30\cdot 0{,}9 = 27\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = 30\cdot 0{,}5 = 15\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: a componente horizontal determina quão rápido a bola avança no solo; a vertical determina quão alto/por quanto tempo ela sobe e depois cai, sob aceleração -g.

Passo 3

(a) Tempo até a bola percorrer horizontalmente 100\\ \mathrm{m} (assumindo movimento horizontal com velocidade constante \,v_{0x}\,):
A equação do movimento horizontal, sem aceleração, é
x = v_{0x}\,t.
Isolando t:
t = \frac{x}{v_{0x}}.
Substituindo x=100\\ \mathrm{m} e v_{0x}=27\\ \mathrm{m/s}:
t = \frac{100}{27}\\ \mathrm{s}.
Fazendo a divisão (aproximando):
t \approx 3{,}7037\\ \mathrm{s}\approx 3{,}70\\ \mathrm{s}.
Interpretação: esse é o tempo que leva para percorrer 100\\ \mathrm{m} na horizontal se permanecer voando todo o tempo; este cálculo usa só a componente horizontal.

Passo 4

(b) Tempo que a bola permanece no ar (tempo de voo total). Para a altura y(t) medimos a partir do ponto de saída (assumindo que ela sai e retorna ao mesmo nível do chão), a equação vertical é
y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2.
A bola toca o chão novamente quando y(t)=0. Isso dá:
v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2=0 \quad\Rightarrow\quad t\bigl(v_{0y}-\tfrac{1}{2}gt\bigr)=0.
Soluções: t=0 (na saída) e
t=\frac{2v_{0y}}{g}.
Substituindo v_{0y}=15\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^2}:
t=\frac{2\cdot 15}{10}=3\\ \mathrm{s}.
Interpretando: a bola permanece em voo por 3\\ \mathrm{s} antes de tocar o solo de novo.

Passo 5

Comparação e observação física importante (meu conselho de amigo): o tempo que ela demoraria para atingir horizontalmente os 100\\ \mathrm{m} é \approx 3{,}70\\ \mathrm{s} (Passo 3), mas o tempo que ela fica no ar é apenas 3{,}00\\ \mathrm{s} (Passo 4). Isso significa que, com os dados dados, a bola cairia (tocaria o solo) antes de atingir os 100\\ \mathrm{m}; portanto, para ela “entrar no gol” a 100\\ \mathrm{m} horizontal, necessariamente ela teria que rolar pelo chão depois de cair — ou então há alguma inconsistência nos dados (por exemplo, ângulo, velocidade inicial ou distância). Em provas, é importante notar essa discrepância: calcular os dois tempos e comentar que o tempo de voo é menor que o tempo necessário para percorrer 100\\ \mathrm{m} em voo.

Resposta

a) \displaystyle t=\frac{100}{27}\\ \mathrm{s}\approx 3{,}70\\ \mathrm{s}.
b) \displaystyle t_{\text{voo}}=\frac{2v_{0y}}{g}=3{,}00\\ \mathrm{s}.

Exercícios relacionados