Para repor a bola em jogo rapidamente, um goleiro dá um chute e a bola sai de seus pés com uma velocidade inicial de 30
, cuja direção faz um ângulo de
com o chão. Ela percorre, horizontalmente, 100 m do campo e entra no gol adversário. Considere a aceleração da gravidade
e
. Determine:
a) Quanto tempo ela levou para entrar no gol, desde que perdeu o contato com o pé do goleiro?
b) O tempo que essa bola permanece no ar.
a) Quanto tempo ela levou para entrar no gol, desde que perdeu o contato com o pé do goleiro?
b) O tempo que essa bola permanece no ar.
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado e perguntas pedidas:
Perguntas:
a) Quanto tempo ela levou para entrar no gol, desde que perdeu o contato com o pé do goleiro?
b) Qual o tempo que essa bola permanece no ar?
a) Quanto tempo ela levou para entrar no gol, desde que perdeu o contato com o pé do goleiro?
b) Qual o tempo que essa bola permanece no ar?
Passo 2
Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é básico em movimento de projéteis.
- A componente horizontal da velocidade,
, é a projeção de sobre o eixo : - A componente vertical da velocidade,
, é a projeção sobre o eixo :
Substituindo os valores dados:
Explicação rápida: a componente horizontal determina quão rápido a bola avança no solo; a vertical determina quão alto/por quanto tempo ela sobe e depois cai, sob aceleração
.
Passo 3
(a) Tempo até a bola percorrer horizontalmente
(assumindo movimento horizontal com velocidade constante
):
A equação do movimento horizontal, sem aceleração, é
A equação do movimento horizontal, sem aceleração, é
Isolando
:
Substituindo
e
:
Fazendo a divisão (aproximando):
Interpretação: esse é o tempo que leva para percorrer
na horizontal se permanecer voando todo o tempo; este cálculo usa só a componente horizontal.
Passo 4
(b) Tempo que a bola permanece no ar (tempo de voo total). Para a altura
medimos a partir do ponto de saída (assumindo que ela sai e retorna ao mesmo nível do chão), a equação vertical é
A bola toca o chão novamente quando
. Isso dá:
Soluções:
(na saída) e
Substituindo
e
:
Interpretando: a bola permanece em voo por
antes de tocar o solo de novo.
Passo 5
Comparação e observação física importante (meu conselho de amigo): o tempo que ela demoraria para atingir horizontalmente os
é
(Passo 3), mas o tempo que ela fica no ar é apenas
(Passo 4). Isso significa que, com os dados dados, a bola cairia (tocaria o solo) antes de atingir os
; portanto, para ela “entrar no gol” a
horizontal, necessariamente ela teria que rolar pelo chão depois de cair — ou então há alguma inconsistência nos dados (por exemplo, ângulo, velocidade inicial ou distância). Em provas, é importante notar essa discrepância: calcular os dois tempos e comentar que o tempo de voo é menor que o tempo necessário para percorrer
em voo.
Resposta
a)
b)
b)