Uma garrafa de água que estava em uma geladeira a
é levada para fora, onde a temperatura é de
. Após 1 minuto, a água possui uma temperatura de
. Pela Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, a temperatura
em função do tempo satisfaz a EDO
para algum
, onde
é a temperatura ambiente.
Qual será a temperatura 2 minutos após ser levada para fora?
Qual será a temperatura 2 minutos após ser levada para fora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve a Lei do Resfriamento/Aquecimento de Newton, que é parte da física. A ideia é descobrir como a temperatura de uma garrafa de água muda quando ela é levada de um lugar frio para um lugar mais quente. Precisamos usar a fórmula que relaciona a taxa de mudança da temperatura com a diferença entre a temperatura da garrafa e a temperatura ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Aqui, $ T(t) $ é a temperatura da água no tempo $ t $, $ T_a $ é a temperatura ambiente (25°C), e $ k $ é uma constante que precisamos descobrir.
Passo 3
Sabemos que no tempo inicial, $ t = 0 $, a temperatura da água era 0°C. Depois de 1 minuto, a temperatura subiu para 10°C. Vamos usar esses dados para encontrar o valor de $ k $.
Passo 4
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde $ T_0 $ é a temperatura inicial. Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar $ k $:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 6
Agora que temos o valor de $ k $, podemos encontrar a temperatura após 2 minutos usando a fórmula da solução:
Passo 7
Calculando o valor de $ e^{-1.0216} $:
Portanto:
Resposta
Após 2 minutos, a temperatura da água será de aproximadamente 16°C.