Uma garrafa de água que estava em uma geladeira a 0^circ C é levada para fora, onde a temperatura é de 25^circ C. Após 1 minuto, a água possui uma temperatura de 10^circ C. Pela Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, a temperatura T(t) em função do tempo satisfaz a EDO T^prime=k(T-Ta) para algum k in R, onde Ta é a temperatura ambiente.
Qual será a temperatura 2 minutos após ser levada para fora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve a Lei do Resfriamento/Aquecimento de Newton, que é parte da física. A ideia é descobrir como a temperatura de uma garrafa de água muda quando ela é levada de um lugar frio para um lugar mais quente. Precisamos usar a fórmula que relaciona a taxa de mudança da temperatura com a diferença entre a temperatura da garrafa e a temperatura ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
T'(t) = k ( T(t) - Ta )
Aqui, $ T(t) $ é a temperatura da água no tempo $ t $, $ T_a $ é a temperatura ambiente (25°C), e $ k $ é uma constante que precisamos descobrir.

Passo 3

Sabemos que no tempo inicial, $ t = 0 $, a temperatura da água era 0°C. Depois de 1 minuto, a temperatura subiu para 10°C. Vamos usar esses dados para encontrar o valor de $ k $.

Passo 4

A solução geral da equação diferencial dada é:
T(t) = Ta + (T0 - Ta) e^kt
Onde $ T_0 $ é a temperatura inicial. Substituindo os valores que temos:
T0

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar $ k $:
k
10 = 25 - 25 e^k
10 - 25 = -25 e^k
-15 = -25 e^k
-15-25 = e^k
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
0.6 = e^k
ln(0.6) = k

Passo 6

Agora que temos o valor de $ k $, podemos encontrar a temperatura após 2 minutos usando a fórmula da solução:
k
T(2) = 25 + (0 - 25) e^-0.5108 cdot 2

Passo 7

Calculando o valor de $ e^{-1.0216} $:
e^-1.0216
Portanto:
e^-1.0216 approx 0.360
T(2) = 25 - 25 times 0.360
T(2) = 25 - 9

Resposta

Após 2 minutos, a temperatura da água será de aproximadamente 16°C.

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