Uma garrafa de água que estava em uma geladeira a 0^{\circ} \mathrm{C} é levada para fora, onde a temperatura é de 25^{\circ} \mathrm{C}. Após 2 minutos, a água possui uma temperatura de 9^{\circ} \mathrm{C}. Pela Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, a temperatura T(t) em função do tempo satisfaz a \mathrm{EDO} T^{\prime}=k\left(T-T_{a}\right) para algum k \in \mathbb{R}, onde T_{a} é a temperatura ambiente.
(a) Qual será a temperatura 1 minuto após ser levada para fora?
(b) O que ocorre com a temperatura quando t \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado nos dá uma garrafa de água cuja temperatura inicial é \;T(0)=0^\circ C, e que é levada para um ambiente a \;T_a=25^\circ C. Após 2 minutos, mede‐se T(2)=9^\circ C. A equação diferencial que rege o aquecimento pela Lei de Newton é
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_a\bigr),
onde k é constante real.

Passo 2

Para resolver
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T-T_a\bigr)
separamos variáveis:
\frac{dT}{T-T_a}=k\,dt.
Integrando de 0 a t no tempo e de T(0) a T(t) na temperatura, obtemos
\ln\bigl|T(t)-T_a\bigr|=kt + C.
Aplicando a condição inicial T(0)=0^\circ C, fica
\ln\bigl|0-T_a\bigr|=C\quad\Longrightarrow\quad C=\ln\bigl|{-}25\bigr|=\ln25.
Logo
\ln\bigl|T(t)-25\bigr|=kt + \ln25 \quad\Longrightarrow\quad T(t)-25 = \pm 25\,e^{kt}.
Como T(t)<25 para t\ge0, escolhemos o sinal negativo e assim
T(t)=25 - 25\,e^{kt}.

Passo 3

Usamos a informação T(2)=9^\circ C:
9 = 25 - 25\,e^{2k} \quad\Longrightarrow\quad 25\,e^{2k} = 25-9 = 16 \quad\Longrightarrow\quad e^{2k} = \frac{16}{25} \quad\Longrightarrow\quad 2k = \ln\!\frac{16}{25} = 2\ln\!\frac{4}{5}
\therefore\quad k = \ln\!\frac{4}{5}\quad(\text{valor negativo}).

Passo 4

Para t=1 minuto,
T(1) = 25 - 25\,e^{k\cdot1} = 25 - 25\cdot\frac{4}{5} = 25 - 20 = 5^\circ C.

Passo 5

Como k=\ln\frac{4}{5}<0, temos \displaystyle e^{k t}\to0 quando t\to\infty. Daí
\lim_{t\to\infty}T(t) =25 - 25\cdot0 =25^\circ C,
ou seja, a água atinge a temperatura ambiente.

Resposta

(a) 5^\circ C
(b) Quando t\to\infty, T(t)\to25^\circ C.

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