Seja \alpha>0.
(a) Quantas funções y:(-\alpha, \alpha) \rightarrow \mathbb{R} passam pelo ponto (0,0) e satisfazem a EDO y^{\prime}=-(x-y)^{2} ?
(b) Mostre que todas essas soluções são decrescentes no domínio.
(c) Determine todas as possíveis soluções. Dicas: faça u(x)=x-y(x) e use (\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u^{2}+1}.
(d) Encontre o maior valor possível para \alpha.

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
y' = -\bigl(x - y\bigr)^{2},
com condição inicial y(0)=0 em (-\alpha,\alpha), onde \alpha>0.
Precisamos usar o Teorema de existência e unicidade (pois o membro direito é C^{1}), mostrar monotonicidade, resolver por mudança de variável u(x)=x-y(x) e achar o domínio máximo em x.

Passo 2

Para aplicar unicidade, note que
f(x,y) = -\bigl(x-y\bigr)^{2}
é C^{1} em toda \mathbb{R}^{2}. Em particular, \partial f/\partial y é contínua, logo f é localmente de Lipschitz em y. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe e é única a solução que satisfaz y(0)=0 num intervalo ao redor de 0. Portanto passa pelo ponto (0,0) uma e só uma função solução.

Passo 3

Para ver que essa solução é decrescente, basta olhar o sinal de y':
y' = -\bigl(x - y\bigr)^{2} \le 0
em todo o domínio. Como \bigl(x-y\bigr)^{2}>0 sempre que x\neq y, temos estrita decrescimento, e em x=0 é apenas nulo momentaneamente.

Passo 4

Fazendo a troca u(x)=x-y(x) temos
u' = 1 - y' = 1 + (x-y)^{2} = 1 + u^{2}.
Isto é separável:
\frac{du}{1+u^{2}} = dx \quad\Longrightarrow\quad \arctan u = x + C.
Logo
u(x) = \tan\bigl(x + C\bigr), \quad y(x) = x - \tan\bigl(x + C\bigr).
Impondo y(0)=0 0 = 0 - \tan\text{(C)}, logo \tan\text{(C)}=0 e \,C=k\pi. Para ter solução contínua em 0 escolhemos C=0. Assim
y(x) = x - \tan(x).

Passo 5

A solução generalizada tem singularidades onde \tan(x+C) explode, ou seja x+C = \tfrac\pi2 + k\pi. No caso C=0, os primeiros pontos de explosão são x=\pm \tfrac\pi2. Para que y exista em todo (-\alpha,\alpha) é necessário \alpha\le \tfrac\pi2. O maior \alpha permitido é, então,
\alpha_{\max} = \frac{\pi}{2}.

Resposta

(a) Exatamente uma.
(b) Como y'=-\,(x-y)^{2}\le0, a solução é decrescente.
(c) A solução geral é
y(x)=x-\tan\bigl(x+C\bigr),
e a única que passa por (0,0) é
y(x)=x-\tan(x).
(d) O maior valor possível de \alpha é \tfrac\pi2.

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