Seja
.
(a) Quantas funções
passam pelo ponto
e satisfazem a EDO
?
(b) Mostre que todas essas soluções são decrescentes no domínio.
(c) Determine todas as possíveis soluções. Dicas: faça
e use
.
(d) Encontre o maior valor possível para
.
(a) Quantas funções
(b) Mostre que todas essas soluções são decrescentes no domínio.
(c) Determine todas as possíveis soluções. Dicas: faça
(d) Encontre o maior valor possível para
Passo 1
O enunciado pede a solução da EDO
com condição inicial
em
, onde
.
Precisamos usar o Teorema de existência e unicidade (pois o membro direito é ), mostrar monotonicidade, resolver por mudança de variável
e achar o domínio máximo em
.
Precisamos usar o Teorema de existência e unicidade (pois o membro direito é
Passo 2
Para aplicar unicidade, note que
é
em toda
. Em particular,
é contínua, logo
é localmente de Lipschitz em
. Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe e é única a solução que satisfaz
num intervalo ao redor de
. Portanto passa pelo ponto
uma e só uma função solução.
Passo 3
Para ver que essa solução é decrescente, basta olhar o sinal de
:
em todo o domínio. Como
sempre que
, temos estrita decrescimento, e em
é apenas nulo momentaneamente.
Passo 4
Fazendo a troca
temos
Isto é separável:
Logo
Impondo
dá
, logo
e
. Para ter solução contínua em
escolhemos
. Assim
Passo 5
A solução generalizada tem singularidades onde
explode, ou seja
. No caso
, os primeiros pontos de explosão são
. Para que
exista em todo
é necessário
. O maior
permitido é, então,
Resposta
(a) Exatamente uma.
(b) Como , a solução é decrescente.
(c) A solução geral é
(b) Como
(c) A solução geral é
e a única que passa por
é
(d) O maior valor possível de
é
.