Uma garrafa térmica de capacidade térmica 120 \mathrm{cal} /{ }^{\circ} \mathrm{C} é preenchida com café a 90 { }^{\circ} \mathrm{C}. Se o café e a garrafa entram em equilíbrio térmico a 80^{\circ} \mathrm{C}, determine a quantidade de calor absorvida pela garrafa.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado dá e pede. Dados fornecidos:
\text{capacidade térmica da garrafa } C_{\text{garrafa}} = 120\\ \mathrm{cal/^\circ C},é
o café é inicialmente a \,90^\circ\mathrm{C} e o sistema (café + garrafa) atinge equilíbrio térmico a \,80^\circ\mathrm{C}.
Pergunta do enunciado:
  • Determinar a quantidade de calor absorvida pela garrafa.
Observação importante (informação que falta): o enunciado não diz qual era a temperatura inicial da garrafa antes de receber o café. Também não dá a capacidade térmica (ou massa) do café. Sem ao menos uma dessas informações não é possível obter um único valor numérico para o calor absorvido pela garrafa apenas a partir dos dados fornecidos. A resolução a seguir mostra a fórmula geral e como proceder; no final dou exemplos numéricos sob hipóteses habituais.

Passo 2

Conceito físico usado (aula curtinha e prática): capacidade térmica e calor trocado.
  • A capacidade térmica C de um corpo (unidade: \mathrm{cal/^\circ C}) é a quantidade de calor necessária para alterar a temperatura desse corpo em 1^\circ\mathrm{C}.
  • Se um corpo de capacidade térmica C sofre uma variação de temperatura de \Delta T, o calor absorvido (positivo se o corpo aquece) é
Q = C\,\Delta T,
onde \Delta T = T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}}.
Expliquei: C diz “quantas calorias por grau”; multiplica pelo número de graus que o corpo mudou para obter calor total.

Passo 3

Aplicando ao caso da garrafa:
  • A garrafa tem C_{\text{garrafa}} = 120\\ \mathrm{cal/^\circ C}.
  • Seja T_{i} a temperatura inicial da garrafa (não fornecida no enunciado).
  • A temperatura final é T_f = 80^\circ\mathrm{C}.
Pelo conceito do passo anterior, o calor absorvido pela garrafa é
Q_{\text{garrafa}} = C_{\text{garrafa}}\,(T_f - T_{i}).
Substituindo o C conhecido:
Q_{\text{garrafa}} = 120\,(80 - T_{i})\\ \mathrm{cal}.

Passo 4

Outra forma de ver, pela conservação de energia (útil em provas): se desprezarmos perdas para o ambiente, o calor perdido pelo café é igual ao calor ganho pela garrafa:
-Q_{\text{café}} = Q_{\text{garrafa}}.é
Se soubéssemos a capacidade térmica do café C_{\text{café}}é (ou massa e calor específico), teríamos
Q_{\text{café}} = C_{\text{café}}\,(T_f - 90) = C_{\text{café}}\,(80-90)= -10\,C_{\text{café}},éééé
e portanto
Q_{\text{garrafa}} = -Q_{\text{café}} = 10\,C_{\text{café}}.éé
Essa forma mostra que, sem C_{\text{café}}é conhecido, não conseguimos um número único, mas vemos a relação direta entre os dados.

Passo 5

Como o enunciado não deu T_{i} da garrafa nem C_{\text{café}}é, a resposta numérica é indeterminada a partir dos dados fornecidos. Porém, é prático ver exemplos (hipóteses comuns) para ficar na cabeça de como usar a fórmula:
Exemplo A — hipótese 1 (garrafa à temperatura ambiente 20^\circ\mathrm{C}):
Q_{\text{garrafa}} = 120\,(80-20)=120\cdot 60=7200\\ \mathrm{cal}.
Exemplo B — hipótese 2 (a garrafa estava a 70^\circ\mathrm{C}; então ela aquece 10^\circ\mathrm{C}):
Q_{\text{garrafa}} = 120\,(80-70)=120\cdot 10=1200\\ \mathrm{cal}.
Exemplo C — hipótese usando conservação com capacidade térmica do café: se soubéssemos C_{\text{café}}=m_{\text{café}}c_{\text{água}}ééá e, por exemplo, C_{\text{café}}=600\\ \mathrm{cal/^\circ C}é, então
Q_{\text{garrafa}} = 10\cdot C_{\text{café}} = 10\cdot 600 = 6000\\ \mathrm{cal}.é

Resposta

Não é possível determinar um valor numérico único com os dados fornecidos; em geral
Q_{\text{garrafa}} = 120\,(80 - T_{i,\text{garrafa}})\\ \mathrm{cal}.
Exemplos: se T_{i,\text{garrafa}}=20^\circ\mathrm{C} então Q=7200\\ \mathrm{cal}. Se a garrafa aqueceu 10^\circ\mathrm{C} (variação típica usada em alguns enunciados) então Q=1200\\ \mathrm{cal}.

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