Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)= x^{3} e z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação (x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0(0,5)

Passo 1

O enunciado pede para testar se as funções
\displaystyle z_{1}(x)=x^{2}, \displaystyle z_{2}(x)=x^{3} e \displaystyle z_{3}(x)=e^{-x}
são soluções da equação
(x+3)\,y''+(x+2)\,y'-y=0.
O que vamos fazer é calcular, para cada z_i, as derivadas y' e y'' e substituir na equação, verificando se o resultado é identicamente zero.

Passo 2

Para \displaystyle z_{1}(x)=x^{2}:
y' = 2x, \quad y'' = 2.
Substituindo em cada termo da equação:
(x+3)\,y'' = (x+3)\cdot 2 = 2x + 6,
(x+2)\,y' = (x+2)\cdot 2x = 2x^{2} + 4x,
-y = -\,x^{2}.
Somando tudo:
2x+6 \;+\; 2x^{2}+4x \;-\; x^{2} \;=\; x^{2}+6x+6,
que não é zero para todo x. Logo, z_{1} não é solução.

Passo 3

Para \displaystyle z_{2}(x)=x^{3}:
y' = 3x^{2}, \quad y'' = 6x.
Substituindo:
(x+3)\,y'' = 6x^{2}+18x,
(x+2)\,y' = 3x^{3}+6x^{2},
-y = -\,x^{3}.
Somando:
6x^{2}+18x \;+\; 3x^{3}+6x^{2} \;-\; x^{3} \;=\; 2x^{3}+12x^{2}+18x \;=\; 2x(x+3)^{2},
que também não é zero para todo x. Logo, z_{2} não é solução.

Passo 4

Para \displaystyle z_{3}(x)=e^{-x}:
y' = -\,e^{-x}, \quad y'' = e^{-x}.
Substituindo:
(x+3)\,y'' = (x+3)e^{-x},
(x+2)\,y' = -(x+2)e^{-x} = -\,x e^{-x} - 2e^{-x},
-y = -\,e^{-x}.
Somando:
(x+3)e^{-x} \;-\; x e^{-x} - 2e^{-x} \;-\; e^{-x} = \bigl(x+3 - x -2 -1\bigr)e^{-x} =0.
Isso vale para todo x, então z_{3} é solução.

Resposta

Somente z_{3}(x)=e^{-x} é solução da equação.

Exercícios relacionados