Considere a curva
(d) Encontre a curvatura e torção da curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pelas equações $ x = 3 \sin t $, $ y = 4t $ e $ z = 3 \cos t $. Nosso objetivo aqui é encontrar a curvatura e a torção dessa curva. Isso faz parte do assunto de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre como analisar curvas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função posição da curva e aplicar as fórmulas de curvatura e torção.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função posição da curva, que é basicamente juntar as três equações em um vetor. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ \mathbf{r}(t) $ em relação a $ t $, que é a velocidade da curva:
Passo 4
Seguimos para a segunda derivada, que nos dá a aceleração:
Passo 5
Vamos calcular a terceira derivada, que será útil para encontrar a torção:
Passo 6
Agora, calculamos o produto vetorial entre $ \mathbf{r},’(t) $ e $ \mathbf{r},’’(t) $:
Resolvendo o determinante:
Simplificando:
Passo 7
Vamos achar o módulo de $ \mathbf{r},’(t) $:
Passo 8
Com esses valores, podemos encontrar a curvatura $ \kappa $ usando a fórmula:
Primeiro, calculamos o módulo do produto vetorial:
Simplificando mais, mas para facilitar, notamos que o resultado final será constante devido às identidades trigonométricas, resultando em:
Passo 9
Agora, vamos calcular a torção $ \tau $ usando a fórmula:
Primeiro, encontramos o produto escalar:
E o denominador já sabemos que $ |\mathbf{r},’(t) \times \mathbf{r},’’(t)|^2 = 225 $. Portanto:
Resposta
A curvatura da curva é $ \kappa = \dfrac{3}{25} $ e a torção é $ \tau = \dfrac{4}{25} $.