6 O que são fônons? O que são os ramos acústico e óptico? Qual é a relação entre energia e momento para fônons de longo comprimento de onda?

Passo 1

O exercício pede para entendermos o conceito de fônons, distinguir seus ramos acústico e óptico e achar a relação energia–momento no limite de longo comprimento de onda. Vamos usar teoria de vibrações em redes cristalinas e noções de quasipartículas.

Passo 2

Fônons são as quasipartículas que representam os modos quânticos de vibração de uma rede cristalina. Em vez de tratar cada átomo oscilando isoladamente, consideramos as ondas coletivas de vibração e, ao quantizá-las, obtemos pacotes de energia discreta chamados fônons.

Passo 3

Quando a célula‐unidade contém mais de um átomo, surgem dois tipos de modos normais: no ramo acústico os átomos da base vibram quase em fase, e a frequência tende a zero quando o vetor de onda k→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ critico→0. No ramo óptico, os átomos vibram fora de fase, e a frequência em k→=0 é finita (não se anula).

Passo 4

Para fótons de longo comprimento de onda (|k|→0) o ramo acústico tem dispersão aproximadamente linear, pois é análogo a ondas sonoras na rede. Escrevemos em bloco:
omega = cs,k

Passo 5

onde cs é a velocidade do som no sólido. Como a energia de um fônon é E=hbar,omega e seu momento p=hbar,k, temos de forma direta:
E = cs,p

Resposta

Fônons são quanta de vibrações coletivas em redes cristalinas. O ramo acústico corresponde a modos em que os átomos vibram quase em fase, com frequência que vai a zero em k→=0; o ramo óptico envolve vibrações fora de fase e tem frequência finita em k→=0. No limite de longo comprimento de onda, a dispersão do ramo acústico é linear, levando à relação entre energia e momento de fônon:
E = c_s p.

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