O gás etano \left(\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6}\right) pode ser considerado um gás ideal \operatorname{com} \gamma=1,220. a) Qual é o calor necessário para aquecer 2,40 mol de etano de 20,0^{\circ} \mathrm{C} até 25,0^{\circ} \mathrm{C} à pressão constante de 1,00 \mathrm{~atm} ? b) Qual é a variação da energia interna do etano?
a) 553 J
b) \mathbf{4 5 4 ~ J}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece alguns dados. Vou listar claramente.
  • Pedido:
    • (a) O calor necessário a pressão constante para aquecer o etano de 20,0^\circ\mathrm{C} até 25,0^\circ\mathrm{C}.
    • (b) A variação da energia interna do etano nesse mesmo aquecimento.
  • Dados fornecidos:
    • gás ideal etano com \gamma=1,220;
    • quantidade de matéria: n=2,40\\ \mathrm{mol};
    • temperatura inicial T_i=20,0^\circ\mathrm{C} e final T_f=25,0^\circ\mathrm{C}, portanto variação \Delta T=T_f-T_i=5,0\\ \mathrm{K};
    • processo realizado à pressão constante p=1,00\\ \mathrm{atm} (o valor numérico da pressão não é necessário para as fórmulas abaixo, porque trabalharemos com capacidades molares).
  • Vou entregar os resultados numéricos em joules (J).

Passo 2

Fórmulas físicas que vamos usar (aqui explico o que cada símbolo significa):
  • O calor a pressão constante para um gás ideal é dado por
Q_p = n\,C_p\,\Delta T,
onde Q_p é o calor fornecido (em J), n é o número de mols, C_p é a capacidade calorífica molar a pressão constante (em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}) e \Delta T é a variação de temperatura (em K).
  • A variação da energia interna de um gás ideal depende só da temperatura e é
\Delta U = n\,C_V\,\Delta T,
onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante.
  • Relações entre C_p, C_V, R e \gamma:
C_p - C_V = R, \qquad \gamma = \frac{C_p}{C_V}.
Aqui R é a constante universal dos gases, R=8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}. Vou usar essas relações para obter C_V e C_p a partir do dado \gamma.

Passo 3

Determinar C_V e C_p a partir de \gamma. Da relação \gamma=\dfrac{C_p}{C_V} e C_p-C_V=R segue
C_V(\gamma-1)=R \quad\Rightarrow\quad C_V=\frac{R}{\gamma-1}.
Substituindo os valores numéricos:
\gamma-1=1,220-1=0,220,
C_V=\frac{8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}}{0,220}= \frac{8,314}{0,220}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Calculando:
C_V \approx 37,79\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Agora C_p=\gamma C_V, então
C_p=1,220\times 37,79\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\approx 46,12\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 4

Calcular o calor a pressão constante Q_p. Usando Q_p=nC_p\Delta T:
\Delta T=5,0\\ \mathrm{K},
C_p\Delta T = 46,12\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times 5,0\\ \mathrm{K} = 230,60\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Multiplicando por n:
Q_p = 2,40\\ \mathrm{mol}\times 230,60\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 553,44\\ \mathrm{J}.
Arredondando de acordo com os dados (três algarismos significativos em n), obtemos
Q_p \approx 553\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a variação da energia interna \Delta U. Usando \Delta U = n C_V \Delta T:
C_V\Delta T = 37,79\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\times 5,0\\ \mathrm{K} = 188,95\\ \mathrm{J\,mol^{-1}},
\Delta U = 2,40\\ \mathrm{mol}\times 188,95\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 453,48\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\Delta U \approx 454\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Checagem física rápida (opcional, mas útil para provar que não houve erro): em processo a pressão constante vale Q_p=\Delta U + W, onde o trabalho W é W=P\Delta V = nR\Delta T. Calculando W:
W = nR\Delta T = 2,40\times 8,314\times 5,0 \approx 99,96\\ \mathrm{J}.
E \Delta U + W \approx 454\\ \mathrm{J} + 99,96\\ \mathrm{J} \approx 553,96\\ \mathrm{J}, consistente com Q_p (diferença devido a arredondamentos). Isso confirma que os resultados fazem sentido físico.

Resposta

a) 553\\ \mathrm{J}
b) 454\\ \mathrm{J}

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