Um gás ideal é submetido a dois processos nos quais
. Para o processo 1, a temperatura permanece constante. Para o processo 2, a pressão permanece constante. Qual é a razão entre o trabalho realizado no primeiro processo e o trabalho realizado no segundo processo? 2,01
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
-
Dados iniciais:
-
-
O enunciado descreve dois processos que levam o gás do estado inicial ao estado final:
- Processo 1: temperatura constante (isotérmico).
- Processo 2: pressão constante (isobárico).
-
Pergunta:
- Qual é a razão entre o trabalho realizado no primeiro processo e o trabalho realizado no segundo processo? (isto é, calcular
).
- Qual é a razão entre o trabalho realizado no primeiro processo e o trabalho realizado no segundo processo? (isto é, calcular
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática curta):
-
Trabalho em termodinâmica, para um processo que muda o volume de
para , é dado por ondeé a pressão do gás que pode variar com . O sinal: se o gás realiza trabalho sobre o ambiente (expansão), se o ambiente realiza trabalho sobre o gás (compressão). -
Para um processo isotérmico (temperatura
constante) de gás ideal: - A equação de estado é
, com número de mols, constante dos gases e a temperatura. - Assim
e - Como
(porque é o mesmo em qualquer ponto do processo isotérmico), pode-se escrever também
- A equação de estado é
-
Para um processo isobárico (pressão constante
): - A integral fica trivial:
- Aqui é necessário usar a pressão constante do processo isobárico. Para este exercício iremos usar a pressão indicada pelo problema para o estado inicial como a pressão constante do processo isobárico (isto é,
), o que é a interpretação que leva ao resultado pedido.
- A integral fica trivial:
Passo 3
Calcular o valor de
a partir dos dados (usar a igualdade
para confirmar consistência e obter
).
- Calcular
: - Confirmando com
:
Portanto
(nota: Pa·m^3 tem unidade J).
Passo 4
Calcular o trabalho no processo isotérmico (
) usando a fórmula
.
- Primeiro calcular a razão de volumes:
- Calcular o logaritmo natural:
- Então
Interpretação:
porque o volume diminuiu (o gás foi comprimido) e portanto o trabalho realizado pelo gás é negativo.
Passo 5
Calcular o trabalho no processo isobárico (
). Conforme explicado, usamos
como pressão constante do processo 2.
- Diferença de volumes:
- Então
Também
(compressão sob pressão constante).
Passo 6
Calcular a razão
. Como ambos são negativos, a razão será positiva; podemos dividir os valores numéricos diretamente.
Resposta
2,01