Um gás ideal é submetido a dois processos nos quais \mathrm{p}_{\mathrm{f}}=1,00 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}, \mathrm{~V}_{\mathrm{f}}=2,00 \mathrm{m}^{3}, \mathrm{p}_{\mathrm{i}}=0,200 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}, \mathrm{~V}_{\mathrm{i}}=10,0 \mathrm{~m}^{3}. Para o processo 1, a temperatura permanece constante. Para o processo 2, a pressão permanece constante. Qual é a razão entre o trabalho realizado no primeiro processo e o trabalho realizado no segundo processo? 2,01

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que pede.
  • Dados iniciais:
    • p_{\mathrm{f}}=1,00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
    • V_{\mathrm{f}}=2,00\\ \mathrm{m}^{3}
    • p_{\mathrm{i}}=0,200\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
    • V_{\mathrm{i}}=10,0\\ \mathrm{m}^{3}
  • O enunciado descreve dois processos que levam o gás do estado inicial ao estado final:
    • Processo 1: temperatura constante (isotérmico).
    • Processo 2: pressão constante (isobárico).
  • Pergunta:
    • Qual é a razão entre o trabalho realizado no primeiro processo e o trabalho realizado no segundo processo? (isto é, calcular W_{1}/W_{2}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicação didática curta):
  • Trabalho em termodinâmica, para um processo que muda o volume de V_{\mathrm{i}} para V_{\mathrm{f}}, é dado por
    W=\int_{V_{\mathrm{i}}}^{V_{\mathrm{f}}} p\,\mathrm{d}V,
    onde p é a pressão do gás que pode variar com V. O sinal: W>0 se o gás realiza trabalho sobre o ambiente (expansão), W<0 se o ambiente realiza trabalho sobre o gás (compressão).
  • Para um processo isotérmico (temperatura T constante) de gás ideal:
    • A equação de estado é pV=nRT, com n número de mols, R constante dos gases e T a temperatura.
    • Assim p=\dfrac{nRT}{V} e W_{1}=\int_{V_{\mathrm{i}}}^{V_{\mathrm{f}}}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V=nRT\ln\!\left(\frac{V_{\mathrm{f}}}{V_{\mathrm{i}}}\right).
    • Como nRT=p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}=p_{\mathrm{f}}V_{\mathrm{f}} (porque pV é o mesmo em qualquer ponto do processo isotérmico), pode-se escrever também W_{1}=p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}\ln\!\left(\frac{V_{\mathrm{f}}}{V_{\mathrm{i}}}\right).
  • Para um processo isobárico (pressão constante p):
    • A integral fica trivial: W_{2}=p\,(V_{\mathrm{f}}-V_{\mathrm{i}}).
    • Aqui é necessário usar a pressão constante do processo isobárico. Para este exercício iremos usar a pressão indicada pelo problema para o estado inicial como a pressão constante do processo isobárico (isto é, p=p_{\mathrm{i}}), o que é a interpretação que leva ao resultado pedido.

Passo 3

Calcular o valor de nRT a partir dos dados (usar a igualdade p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}=p_{\mathrm{f}}V_{\mathrm{f}} para confirmar consistência e obter nRT).
  • Calcular p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}: p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}=(0,200\times10^{5})\cdot(10,0)=2,00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.
  • Confirmando com p_{\mathrm{f}}V_{\mathrm{f}}: p_{\mathrm{f}}V_{\mathrm{f}}=(1,00\times10^{5})\cdot(2,00)=2,00\times10^{5}\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.
Portanto nRT=p_{\mathrm{i}}V_{\mathrm{i}}=2,00\times10^{5}\\ \mathrm{J} (nota: Pa·m^3 tem unidade J).

Passo 4

Calcular o trabalho no processo isotérmico ( W_{1}) usando a fórmula \;W_{1}=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_{\mathrm{f}}}{V_{\mathrm{i}}}\right).
  • Primeiro calcular a razão de volumes: \frac{V_{\mathrm{f}}}{V_{\mathrm{i}}}=\frac{2,00}{10,0}=0,200.
  • Calcular o logaritmo natural: \ln(0,200)=\ln\!\left(\frac{1}{5}\right)=-\ln(5)\approx-1,6094379.
  • Então W_{1}=(2,00\times10^{5})\cdot(-1,6094379)\approx-3,2189\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: W_{1}<0 porque o volume diminuiu (o gás foi comprimido) e portanto o trabalho realizado pelo gás é negativo.

Passo 5

Calcular o trabalho no processo isobárico ( W_{2}). Conforme explicado, usamos p=p_{\mathrm{i}} como pressão constante do processo 2.
  • Diferença de volumes: V_{\mathrm{f}}-V_{\mathrm{i}}=2,00-10,0=-8,00\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Então W_{2}=p_{\mathrm{i}}\,(V_{\mathrm{f}}-V_{\mathrm{i}})=(0,200\times10^{5})\cdot(-8,00)=-1,60\times10^{5}\\ \mathrm{J}.
Também W_{2}<0 (compressão sob pressão constante).

Passo 6

Calcular a razão W_{1}/W_{2}. Como ambos são negativos, a razão será positiva; podemos dividir os valores numéricos diretamente.
\frac{W_{1}}{W_{2}}=\frac{-3,2189\times10^{5}}{-1,60\times10^{5}}=\frac{3,2189}{1,60}\approx2,0118\approx2,01.

Resposta

2,01

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