Informações dadas/úteis que vamos usar (não resolvemos ainda, só listando):
z é a fugacidade, definida por z=e^{\beta\mu}.
\beta é \beta=1/(k_{B}T).
\{\varepsilon_{i}\} são os níveis de energia de uma partícula única (sistema não interagente).
Para férmions cada nível pode ter ocupação n_{i}\in\{0,1\}. Para bósons, n_{i}\in\{0,1,2,\dots\}.
Queremos relacionar a função de partição grã-canônica Y com P e mostrar a soma sobre os níveis.]
Passo 2
Definição da função de partição grã-canônica e interpretação das variáveis. A função de partição grã-canônica é a soma sobre todos os microestados do fator de Boltzmann com o termo de potencial químico:
z=e^{\beta\mu}.
No caso de um gás ideal não interagente, cada microestado é especificado pelas ocupações n_{i} de cada nível de energia \varepsilon_{i}. Essa descrição em termos de ocupações é a chave para fatorizar a soma.
Passo 3
Escrever energia total e número total em termos das ocupações. Para um estado com ocupações \{n_{i}\},
Observe que o produto aparece porque o expoente é soma; isso permite fatorizar a soma sobre microestados.
Passo 4
Fatorizar a soma sobre microestados como produto de somas sobre ocupações de cada nível. A soma sobre todos os microestados \{n_{i}\} torna-se produto das somas sobre cada n_{i}:
Aqui a ordem dos passos é: usamos independência (não interagente) para trocar a soma sobre conjuntos \{n_{i}\} por produto de somas, uma para cada nível i.
Passo 5
Calcular a soma \sum_{n_{i}}\bigl(z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}} para férmions. Para férmions, cada n_{i}\in\{0,1\}, então
\sum_{n_{i}=0}^{1}\bigl(z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}} =1 + z e^{-\beta\varepsilon_{i}}.
Logo, a contribuição de cada nível ao produto é 1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}, e a função de partição total é
Calcular a soma \sum_{n_{i}}\bigl(z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}} para bósons. Para bósons, n_{i}=0,1,2,\dots, portanto a soma é uma série geométrica:
\sum_{n_{i}=0}^{\infty}\bigl(z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}} =\frac{1}{1 - z e^{-\beta\varepsilon_{i}}},\qquad\text{desde que }|z e^{-\beta\varepsilon_{i}}|<1.
Então
Y_{\text{bósons}}=\prod_{i}\frac{1}{1 - z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}ó
e tomando logaritmo obtemos
\ln Y_{\text{bósons}}=-\sum_{i}\ln\bigl(1 - z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr).ó
Passo 7
Unificar as duas expressões em uma forma com o símbolo \pm. Observamos:
Para férmions: \ln Y=\sum_{i}\ln(1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}).
Para bósons: \ln Y=-\sum_{i}\ln(1- z e^{-\beta\varepsilon_{i}}).
Isto pode ser escrito compactamente como
\ln\bigl[Y(z,V,T)\bigr]=\pm\sum_{i}\ln\!\bigl(1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr),
onde o sinal superior corresponde a férmions e o inferior a bósons, que é exatamente a forma do enunciado.
Passo 8
Relacionar \ln Y com pressão P. Na termodinâmica estatística, o potencial grandiano \Omega é
\Omega=-k_{B}T\ln Y.
Para um sistema homogêneo em equilíbrio térmico e químico, o potencial grandiano é igual a -P V:
\Omega=-P V.
Combinando as duas expressões:
-k_{B}T\ln Y = -P V \quad\Rightarrow\quad \ln Y = \frac{P V}{k_{B}T}.
Portanto a igualdade com \pm\sum_{i}\ln(1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}) é equivalente à relação com a pressão, completando a demonstração.
Passo 9
Observações importantes para a prova (dicas práticas e condições de validade):
A fatoração em produto sobre níveis é válida porque o sistema é ideal (não interagente).
Para bósons a série geométrica converge somente se z e^{-\beta\varepsilon_{i}}<1 para todos os i. Em particular, se o nível fundamental tem \varepsilon_{0}=0 costuma-se exigir z<1. Quando z\to 1 pode ocorrer condensação de Bose–Einstein — isso é um sinal físico de que a soma/série precisa ser tratada com cuidado.
Em provas, o truque padrão é: escrever Y=\sum e^{-\beta(E-\mu N)}, passar para ocupações n_{i}, fatorizar o produto e calcular a soma por nível (0/1 para férmions, série geométrica para bósons). Memorize esse esquema — é rápido e seguro.
Resposta
\ln\bigl[Y(z,V,T)\bigr]=\frac{P V}{k_{B}T}= \pm \sum_{i}\ln\!\bigl(1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)