Para um gás ideal formado por partículas quânticas (bósons e férmions), mostre que a função de partição grã-canônica é dada por:
\ln [Y(z, V, T)]=\frac{P V}{k_{B} T}= \pm \sum_{i} \ln \left(1 \pm z e^{-\beta \varepsilon_{i}}\right)
Onde a validade dos sinais é segue a regra:
\left\{\begin{array}{cc} + & \text { férmions } \\\\ - & \text { bósons } \end{array}\right.éó

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função de partição grã-canônica satisfaz
\ln\bigl[Y(z,V,T)\bigr]=\frac{P V}{k_{B}T}= \pm \sum_{i}\ln\!\bigl(1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr),
com a regra dos sinais
\begin{cases} + & \text{férmions},\\[4pt] - & \text{bósons}. \end{cases}éó
Informações dadas/úteis que vamos usar (não resolvemos ainda, só listando):
  • z é a fugacidade, definida por z=e^{\beta\mu}.
  • \beta é \beta=1/(k_{B}T).
  • \{\varepsilon_{i}\} são os níveis de energia de uma partícula única (sistema não interagente).
  • Para férmions cada nível pode ter ocupação n_{i}\in\{0,1\}. Para bósons, n_{i}\in\{0,1,2,\dots\}.
  • Queremos relacionar a função de partição grã-canônica Y com P e mostrar a soma sobre os níveis.]

Passo 2

Definição da função de partição grã-canônica e interpretação das variáveis. A função de partição grã-canônica é a soma sobre todos os microestados do fator de Boltzmann com o termo de potencial químico:
Y(z,V,T)=\sum_{\text{microestados}} e^{-\beta\bigl(E-\mu N\bigr)},
onde:
  • E é a energia total do microestado,
  • N é o número de partículas do microestado,
  • \mu é o potencial químico,
  • \beta=1/(k_{B}T),
  • z=e^{\beta\mu}.
    No caso de um gás ideal não interagente, cada microestado é especificado pelas ocupações n_{i} de cada nível de energia \varepsilon_{i}. Essa descrição em termos de ocupações é a chave para fatorizar a soma.

Passo 3

Escrever energia total e número total em termos das ocupações. Para um estado com ocupações \{n_{i}\},
E=\sum_{i} n_{i}\varepsilon_{i},\qquad N=\sum_{i} n_{i}.
Então o peso de Boltzmann do microestado é
e^{-\beta\bigl(E-\mu N\bigr)}=e^{-\beta\sum_{i} n_{i}(\varepsilon_{i}-\mu)}.
Reescrevendo com z=e^{\beta\mu},
e^{-\beta\sum_{i} n_{i}(\varepsilon_{i}-\mu)}=\prod_{i} \bigl(z\,e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}}.
Observe que o produto aparece porque o expoente é soma; isso permite fatorizar a soma sobre microestados.

Passo 4

Fatorizar a soma sobre microestados como produto de somas sobre ocupações de cada nível. A soma sobre todos os microestados \{n_{i}\} torna-se produto das somas sobre cada n_{i}:
Y=\sum_{\{n_{i}\}}\prod_{i}\bigl(z\,e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}} =\prod_{i}\left(\sum_{n_{i}} \bigl(z\,e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}}\right).
Aqui a ordem dos passos é: usamos independência (não interagente) para trocar a soma sobre conjuntos \{n_{i}\} por produto de somas, uma para cada nível i.

Passo 5

Calcular a soma \sum_{n_{i}}\bigl(z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}} para férmions. Para férmions, cada n_{i}\in\{0,1\}, então
\sum_{n_{i}=0}^{1}\bigl(z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}} =1 + z e^{-\beta\varepsilon_{i}}.
Logo, a contribuição de cada nível ao produto é 1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}, e a função de partição total é
Y_{\text{férmions}}=\prod_{i}\bigl(1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr).é
Tomando logaritmo,
\ln Y_{\text{férmions}}=\sum_{i}\ln\bigl(1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr).é

Passo 6

Calcular a soma \sum_{n_{i}}\bigl(z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}} para bósons. Para bósons, n_{i}=0,1,2,\dots, portanto a soma é uma série geométrica:
\sum_{n_{i}=0}^{\infty}\bigl(z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)^{n_{i}} =\frac{1}{1 - z e^{-\beta\varepsilon_{i}}},\qquad\text{desde que }|z e^{-\beta\varepsilon_{i}}|<1.
Então
Y_{\text{bósons}}=\prod_{i}\frac{1}{1 - z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}ó
e tomando logaritmo obtemos
\ln Y_{\text{bósons}}=-\sum_{i}\ln\bigl(1 - z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr).ó

Passo 7

Unificar as duas expressões em uma forma com o símbolo \pm. Observamos:
  • Para férmions: \ln Y=\sum_{i}\ln(1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}).
  • Para bósons: \ln Y=-\sum_{i}\ln(1- z e^{-\beta\varepsilon_{i}}).
    Isto pode ser escrito compactamente como
\ln\bigl[Y(z,V,T)\bigr]=\pm\sum_{i}\ln\!\bigl(1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr),
onde o sinal superior corresponde a férmions e o inferior a bósons, que é exatamente a forma do enunciado.

Passo 8

Relacionar \ln Y com pressão P. Na termodinâmica estatística, o potencial grandiano \Omega é
\Omega=-k_{B}T\ln Y.
Para um sistema homogêneo em equilíbrio térmico e químico, o potencial grandiano é igual a -P V:
\Omega=-P V.
Combinando as duas expressões:
-k_{B}T\ln Y = -P V \quad\Rightarrow\quad \ln Y = \frac{P V}{k_{B}T}.
Portanto a igualdade com \pm\sum_{i}\ln(1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}) é equivalente à relação com a pressão, completando a demonstração.

Passo 9

Observações importantes para a prova (dicas práticas e condições de validade):
  • A fatoração em produto sobre níveis é válida porque o sistema é ideal (não interagente).
  • Para bósons a série geométrica converge somente se z e^{-\beta\varepsilon_{i}}<1 para todos os i. Em particular, se o nível fundamental tem \varepsilon_{0}=0 costuma-se exigir z<1. Quando z\to 1 pode ocorrer condensação de Bose–Einstein — isso é um sinal físico de que a soma/série precisa ser tratada com cuidado.
  • Em provas, o truque padrão é: escrever Y=\sum e^{-\beta(E-\mu N)}, passar para ocupações n_{i}, fatorizar o produto e calcular a soma por nível (0/1 para férmions, série geométrica para bósons). Memorize esse esquema — é rápido e seguro.

Resposta

\ln\bigl[Y(z,V,T)\bigr]=\frac{P V}{k_{B}T}= \pm \sum_{i}\ln\!\bigl(1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr)
(com + para férmions e - para bósons).

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