Para um gás ideal formado por partículas quânticas mostre que o número médio de partículas \langle N\rangle=z \frac{\partial \ln (Y)}{\partial z} é dado por:
\langle N\rangle=\sum_{i}\langle n\rangle
Onde \langle n\rangle é o número de ocupação médio de cada nível de energia dado por:
O enunciado pede para mostrar duas coisas: (i) que o número médio de partículas dado por \langle N\rangle = z \frac{\partial \ln(Y)}{\partial z} pode ser escrito como a soma das ocupações médias dos níveis, isto é \langle N\rangle = \sum_{i}\langle n_{i}\rangle; (ii) que a ocupação média de cada nível é
com o sinal + para férmions e - para bósons.
Informações dadas e notação que usaremos: \beta = 1/(k_{B}T) é o inverso da temperatura, \mu é o potencial químico, a fugacidade é z=\mathrm{e}^{\beta\mu}, \varepsilon_{i} é a energia do nível único i, e Y é a função de partição grand-canonical (também chamada de partição de grande sistema). Neste passo não vamos resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema pede e as quantidades envolvidas.
Passo 2
Definição e fatorização da partição grand-canonical. Por definição a partição grand-canonical é a soma sobre todos os estados possíveis do fator z^{N} e^{-\beta E}:
Y=\sum_{\text{estados}} z^{N} e^{-\beta E}.
Para um gás ideal (partículas não interagentes) a energia total e o número total se escrevem como somas sobre ocupações dos níveis: E=\sum_{i} n_{i}\varepsilon_{i} e N=\sum_{i} n_{i}. Assim a soma sobre estados se transforma em soma/produto sobre as ocupações n_{i}:
Y=\sum_{\{n_{i}\}} \prod_{i} \left(z^{n_{i}} e^{-\beta n_{i}\varepsilon_{i}}\right) =\prod_{i}\left(\sum_{n_{i}} (z e^{-\beta\varepsilon_{i}})^{n_{i}}\right).
Aqui usei que, por serem independentes, as somas fatoram em produto dos níveis.
Passo 3
Avaliação das somas por nível (cada nível i tem uma soma \sum_{n_{i}} x^{n_{i}} com x=z e^{-\beta\varepsilon_{i}}), lembrando os possíveis valores de n_{i}:
Para bósons: n_{i}=0,1,2,\dots. Então
\sum_{n_{i}=0}^{\infty} x^{n_{i}}=\frac{1}{1-x}\quad\text{ (válido se }|x|<1\text{)}.á
Cálculo de z\frac{\partial \ln Y}{\partial z} e identificação com soma das ocupações médias. Diferenciando \ln Y em relação a z e multiplicando por z obtemos, nível a nível:
Em ambos os casos a expressão por nível tem a forma
\frac{z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}{1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}},
com o sinal + no denominador para férmions e - para bósons. Vamos mostrar agora que esse valor por nível é exatamente \langle n_{i}\rangle.
Passo 5
Cálculo direto da ocupação média \langle n_{i}\rangle por nível (método probabilístico). A probabilidade de um nível i ter ocupação n_{i} é proporcional a (z e^{-\beta\varepsilon_{i}})^{n_{i}}, normalizada pela soma desse nível. Assim
\langle n_{i}\rangle=\frac{\sum_{n_{i}} n_{i}\,(z e^{-\beta\varepsilon_{i}})^{n_{i}}} {\sum_{n_{i}} (z e^{-\beta\varepsilon_{i}})^{n_{i}}}.
Calculemos para os dois casos:
Férmions (n_{i}=0,1): com x=z e^{-\beta\varepsilon_{i}},