Para um gás ideal formado por partículas quânticas mostre que o número médio de partículas \langle N\rangle=z \frac{\partial \ln (Y)}{\partial z} é dado por:
\langle N\rangle=\sum_{i}\langle n\rangle
Onde \langle n\rangle é o número de ocupação médio de cada nível de energia dado por:
\left\langle n_{i}\right\rangle=\frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon_{i}} \pm 1}
Novamente, a validade dos sinais segue a regra:
\left\{\begin{array}{cc} + & \text { férmions } \\\\ - & \text { bósons } \end{array}\right.éó
Valor: 2,5

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas: (i) que o número médio de partículas dado por \langle N\rangle = z \frac{\partial \ln(Y)}{\partial z} pode ser escrito como a soma das ocupações médias dos níveis, isto é \langle N\rangle = \sum_{i}\langle n_{i}\rangle; (ii) que a ocupação média de cada nível é
\left\langle n_{i}\right\rangle=\frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon_{i}} \pm 1},
com o sinal + para férmions e - para bósons.
Informações dadas e notação que usaremos: \beta = 1/(k_{B}T) é o inverso da temperatura, \mu é o potencial químico, a fugacidade é z=\mathrm{e}^{\beta\mu}, \varepsilon_{i} é a energia do nível único i, e Y é a função de partição grand-canonical (também chamada de partição de grande sistema). Neste passo não vamos resolver nada ainda — só identifiquei o que o problema pede e as quantidades envolvidas.

Passo 2

Definição e fatorização da partição grand-canonical. Por definição a partição grand-canonical é a soma sobre todos os estados possíveis do fator z^{N} e^{-\beta E}:
Y=\sum_{\text{estados}} z^{N} e^{-\beta E}.
Para um gás ideal (partículas não interagentes) a energia total e o número total se escrevem como somas sobre ocupações dos níveis: E=\sum_{i} n_{i}\varepsilon_{i} e N=\sum_{i} n_{i}. Assim a soma sobre estados se transforma em soma/produto sobre as ocupações n_{i}:
Y=\sum_{\{n_{i}\}} \prod_{i} \left(z^{n_{i}} e^{-\beta n_{i}\varepsilon_{i}}\right) =\prod_{i}\left(\sum_{n_{i}} (z e^{-\beta\varepsilon_{i}})^{n_{i}}\right).
Aqui usei que, por serem independentes, as somas fatoram em produto dos níveis.

Passo 3

Avaliação das somas por nível (cada nível i tem uma soma \sum_{n_{i}} x^{n_{i}} com x=z e^{-\beta\varepsilon_{i}}), lembrando os possíveis valores de n_{i}:
  • Para bósons: n_{i}=0,1,2,\dots. Então
\sum_{n_{i}=0}^{\infty} x^{n_{i}}=\frac{1}{1-x}\quad\text{ (válido se }|x|<1\text{)}.á
  • Para férmions: n_{i}=0,1. Então
\sum_{n_{i}=0}^{1} x^{n_{i}}=1+x.
Portanto a partição se escreve
Y_{\text{bósons}}=\prod_{i}\frac{1}{1-z e^{-\beta\varepsilon_{i}}},\qquad Y_{\text{férmions}}=\prod_{i}\bigl(1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr).óé
Tomando logaritmo:
\ln Y_{\text{bósons}}=-\sum_{i}\ln\bigl(1-z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr),\qquad \ln Y_{\text{férmions}}=\sum_{i}\ln\bigl(1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr).óé

Passo 4

Cálculo de z\frac{\partial \ln Y}{\partial z} e identificação com soma das ocupações médias. Diferenciando \ln Y em relação a z e multiplicando por z obtemos, nível a nível:
  • Para férmions:
z\frac{\partial}{\partial z}\ln Y = \sum_{i} z\frac{\partial}{\partial z}\ln\bigl(1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr) = \sum_{i}\frac{z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}{1+z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}.
  • Para bósons:
z\frac{\partial}{\partial z}\ln Y = -\sum_{i} z\frac{\partial}{\partial z}\ln\bigl(1-z e^{-\beta\varepsilon_{i}}\bigr) = \sum_{i}\frac{z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}{1-z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}.
Em ambos os casos a expressão por nível tem a forma
\frac{z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}{1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}},
com o sinal + no denominador para férmions e - para bósons. Vamos mostrar agora que esse valor por nível é exatamente \langle n_{i}\rangle.

Passo 5

Cálculo direto da ocupação média \langle n_{i}\rangle por nível (método probabilístico). A probabilidade de um nível i ter ocupação n_{i} é proporcional a (z e^{-\beta\varepsilon_{i}})^{n_{i}}, normalizada pela soma desse nível. Assim
\langle n_{i}\rangle=\frac{\sum_{n_{i}} n_{i}\,(z e^{-\beta\varepsilon_{i}})^{n_{i}}} {\sum_{n_{i}} (z e^{-\beta\varepsilon_{i}})^{n_{i}}}.
Calculemos para os dois casos:
  • Férmions ( n_{i}=0,1): com x=z e^{-\beta\varepsilon_{i}},
\langle n_{i}\rangle=\frac{0\cdot 1 + 1\cdot x}{1+x}=\frac{x}{1+x}.
  • Bósons ( n_{i}=0,1,2,\dots): usando as somas geométricas \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\dfrac{1}{1-x} e \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n}=\dfrac{x}{(1-x)^{2}},
\langle n_{i}\rangle=\frac{\dfrac{x}{(1-x)^{2}}}{\dfrac{1}{1-x}}=\frac{x}{1-x}.
Substituindo x=z e^{-\beta\varepsilon_{i}} obtemos, em ambos os casos,
\langle n_{i}\rangle=\frac{z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}{1\pm z e^{-\beta\varepsilon_{i}}}.
Agora simplificamos esta forma algébrica para a forma pedida.

Passo 6

Reescrevendo \langle n_{i}\rangle na forma final. Tomando x=z e^{-\beta\varepsilon_{i}},
\frac{x}{1\pm x}=\frac{1}{x^{-1}\pm 1}=\frac{1}{z^{-1} e^{\beta\varepsilon_{i}}\pm 1}.
Portanto encontramos exatamente a fórmula solicitada:
\left\langle n_{i}\right\rangle=\frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon_{i}} \pm 1},
e, como mostrado no Passo 4, somando sobre os níveis recoveramos z\partial \ln Y/\partial z. Assim
\langle N\rangle = z\frac{\partial \ln Y}{\partial z}=\sum_{i}\langle n_{i}\rangle,
com \langle n_{i}\rangle dado acima.

Resposta

\langle N\rangle = z \dfrac{\partial \ln(Y)}{\partial z} = \displaystyle\sum_{i}\langle n_{i}\rangle\)\n \(\displaystyle \langle n_{i}\rangle=\frac{1}{z^{-1} e^{\beta \varepsilon_{i}} \pm 1}\)\n \(\text{Sinais: } \begin{cases} + & \text{férmions} \\\\ - & \text{bósons} \end{cases}

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