Um gás ideal com gamma=1,50 sofre uma expansão adiabática em que seu volume inicial Vi aumenta para 4 Vi, Seguida de uma contracão isobárica até o volume de 2 Vi e de aquecimento pelo um processo isotérmico até o volume inicial, e seguida por outro processo a volume constante, até a temperatura inicial.
Calcule o rendimento deste ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos um ciclo termodinâmico de um gás ideal com γ=1,50 que passa por quatro processos:
  1. expansão adiabática de V_i para 4 V_i;
  2. contração isobárica de 4 V_i para 2 V_i;
  3. processo isotérmico (T constante) de 2 V_i de volta a V_i;
  4. aquecimento a volume constante de V_i até a temperatura inicial.
Conteúdo envolvido:
  • Lei dos gases ideais (PV=nRT)
  • Processo adiabático (PV^γ = constante) e trabalho Q=0
  • Processo isobárico (P=const), calor e trabalho
  • Processo isotérmico, fórmula do trabalho W = nRT ln(V_f/V_i)
  • Processo isocórico (V=const), calor Q = n C_V ΔT
  • Definição de rendimento η = W_liq/Q_entrada
Vamos usar todas essas fórmulas e lembrar de somar só o calor que entrou no ciclo para achar o rendimento.

Passo 2

Processo 1: expansão adiabática de V_i para 4 V_i.
  • Como é adiabático, Q₁ = 0.
  • Da relação adiabática:
    T2T1=l(V1V2r)^gamma-1 =l(Vi4Vir)^1,5-1 =l(14r)^0,5 =12 e W1 = P1V1 - P2V2gamma-1 = nR(T1 - T2)gamma-1 = nRl(T1 - tfrac12 T1r)0,5 = nR,T1 .
    Logo Então .
  • Trabalho realizado pelo gás:

Passo 3

Processo 2: contração isobárica de 4 V_i para 2 V_i.
  • Pressão fica W2 = P2,(V3 - V2) = P2,(2Vi - 4Vi) = -2,P2,Vi = -2;P18,Vi = -P1Vi4 = -nR,T14 constante. Pela adiabática anterior, T3T2 = V3V2 = 2Vi4Vi = tfrac12 ;Longrightarrow; T3 = tfrac12,T2 = tfrac14,T1 , mas só precisamos do trabalho:
  • Calor trocado num isobárico: , mas não precisamos de Q₂ pro rendimento (é calor saindo).
Para achar :

Passo 4

Processo 3: isotérmico a W3 = nR,T3;lnVfVi = nR,T14;lnVi2Vi = nR,T14;(-ln2) = -,nR,T14,ln2 , de 2 V_i até V_i.
  • Numa compressão isotérmica o trabalho feito sobre o gás é
  • Como é isotérmico, , mas é calor saindo do gás (negativo do ponto de vista de entrada).

Passo 5

Processo 4: aquecimento isocórico (V = V_i) de Q4 = n,CV,(T5 - T4) = n;Rgamma-1,l(T1 - tfrac14T1r) = n;R0,5;34T1 = 32,nR,T1 até .
  • Trabalho .
  • Calor entrante:

Passo 6

Agora somamos tudo para achar o trabalho líquido W_liq e identificamos o calor de entrada (só Q₄ é positivo):
Wrm liq = W1 + W2 + W3 + W4 = nR,T1 - nR,T14 - nR,T14,ln2 + 0 = nR,T1l(1 - tfrac14 - tfracln24r) = nR,T14,(3 - ln2)
O calor de entrada é eta = Wrm liqQrm in = nR,T14(3 - ln2) 32nR,T1 = 14,23,(3 - ln2) = 3 - ln26 .
O rendimento do ciclo é

Resposta

boxedeta = 3 - ln26 approx 0,3845 (ou 38,45%)

Exercícios relacionados