(2,0 p) Um gás ideal com gamma=5 / 3 sofre uma expansão isotérmica em que seu volume inicial Vi aumenta de 100 % para 2 Vi, seguida de uma contração isobárica até o volume de 1,5 Vi e de aquecimento pelo um processo adiabática até o volume inicial, e seguida por outro processo a volume constante, até a temperatura inicial. Calcule o rendimento deste ciclo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um gás ideal (γ=5/3) faz um ciclo com quatro etapas:
  1. Expansão isotérmica de Vi para 2Vi
  2. Contração isobárica de 2Vi para 1,5 Vi
  3. Compressão adiabática de 1,5 Vi até Vi
  4. Aquecimento isocórico até voltar à T inicial
Matéria envolvida: termodinâmica de gases ideais (leis dos processos, trabalho e calor em cada etapa, capacidade térmica).
O que vamos usar:
  • Lei dos gases ideais:
  • Trabalho em cada tipo de processo:
    • isotérmico:
    • isobárico:
    • isocórico:
    • adiabático: e const ou const
  • Calores com , .
Agora sim, partiu resolução!

Passo 2

Processo 1→2: Expansão isotérmica a W12=nR T1ln2ViVi =nR T1ln2 de Q12=W12=nR T1ln2 para .
– Trabalho pela gás:
– Como (T constante), todo calor entra vira trabalho:

Passo 3

Processo 2→3: Contração isobárica de p2=nR,T2V2 =nR,T12Vi para T3=p2,V3nR =nR,T12Vi,1,5VinR =0,75,T1 .
  1. Pressão constante vale
W23=p2,(V3-V2) =nR,T12Vi(1,5Vi-2Vi) =-0,25,nR,T1
  1. Temperatura em 3:
Q23=nCp,(T3-T2) =n52R,(0,75T1-T1) =-58nR,T1
  1. Trabalho:
  1. Calor trocado:

Passo 4

Processo 3→4: Compressão adiabática de T4 =T3l(V3V4r)^gamma-1 =0,75T1,(1,5)^2/3 até ΔU34=nCv,(T4-T3) =tfrac32nR,(0,9825T1-0,75T1) approx+0,3488,nR,T1 .
– Em adiabática sem troca de calor: .
– Relação const:
Com , fica
– Trabalho pela gás vem de ΔU:
Como ,

Passo 5

Processo 4→1: Aquecimento isocórico, Q41=nCv,(T1-T4) =tfrac32nR,(T1-0,9825T1) approx0,0258,nR,T1 fixo, de para .
– Trabalho zero: .
– Calor:

Passo 6

Bora calcular rendimento Qrm in=Q12+Q41 =nR,T1ln2;+;0,0258,nR,T1 approx nR,T1(0,6931+0,0258) =0,7189,nR,T1 :
Wrm net =W12+W23+W34+W41 =nR,T1l(0,6931-0,25-0,3488+0r) approx0,0943,nR,T1 são só os calores positivos (entradas):
eta=Wrm netQrm in approx0,09430,7189 approx0,131(13,1%)
– Trabalho líquido do ciclo:
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Resposta

O rendimento do ciclo é aproximadamente (13 %).

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