Um gás ideal com 5,0 \mathrm{~L} de volume, a 0,0 \mathrm{C} e a 1,0 \mathrm{~atm}, no processo A , é aquecido à volume constante até atingir 3,0 \mathrm{~atm} e depois é aquecido à pressão constante até atingir 12 L . No processo B, o estado inicial do gás é o mesmo mas os aquecimentos são trocados de ordem. Desenhe os processos no diagrama pV. Calcule o trabalho, o calor e a variação de energia interna nos dois casos.

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal que parte de P_{1}=1{,}0\\ \mathrm{atm}, V_{1}=5{,}0\\ \mathrm{L} e T_{1}=0{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}. No processo A ele é aquecido a volume constante até P=3{,}0\\ \mathrm{atm} e depois a pressão constante até V=12\\ \mathrm{L}. No processo B faz-se primeiro a etapa de pressão constante (aumentando o volume) e depois a de volume constante (aumentando a pressão), terminando no mesmo estado final de A. Para resolver, vamos usar a lei dos gases ideais, a primeira lei da termodinâmica e as fórmulas
\Delta U = n C_{V}\,\Delta T,
W = \int P\,dV,
Q = \Delta U + W.

Passo 2

Calculamos o número de mols n no estado inicial com
n = \frac{P_{1}\,V_{1}}{R\,T_{1}} =\frac{(1{,}0\\ \mathrm{atm})(5{,}0\\ \mathrm{L})}{(0{,}08206\\ \mathrm{L\\ atm/mol\\ K})(273{,}15\\ \mathrm{K})} \approx0{,}223\\ \mathrm{mol}.
Para ter números, vamos assumir um gás monatomicamente ideal, de modo que
C_{V}=\tfrac{3}{2}R, \quad C_{P}=\tfrac{5}{2}R.

Passo 3

No processo A há duas etapas:
— Etapa A1: aquecimento a volume constante de P_{1}=1 até P_{2}=3\\ \mathrm{atm} em V=5\\ \mathrm{L}.
— Etapa A2: aquecimento a pressão constante P_{2}=3\\ \mathrm{atm} de V_{2}=5 até V_{3}=12\\ \mathrm{L}.

Passo 4

Etapa A1 (constante V): o trabalho é
W_{A1}=0.
Como P\propto T a volume fixo,
T_{2}=T_{1}\frac{P_{2}}{P_{1}} =273{,}15\cdot\frac{3}{1}=819{,}45\\ \mathrm{K}, \quad \Delta T_{A1}=T_{2}-T_{1}=546{,}30\\ \mathrm{K}.
Logo
\Delta U_{A1}=n\,C_{V}\,\Delta T_{A1} =0{,}223\cdot\Bigl(\tfrac{3}{2}R\Bigr)\cdot546{,}30 \approx1\,521\\ \mathrm{J},
Q_{A1}=\Delta U_{A1}+W_{A1}=1\,521\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Etapa A2 (constante P): o trabalho é
W_{A2}=P_{2}\,(V_{3}-V_{2}) =3{,}0\\ \mathrm{atm}\cdot(12-5)\\ \mathrm{L} =21\\ \mathrm{L\\ atm} \approx2\,127\\ \mathrm{J}.
Como V\propto T à pressão constante,
T_{3}=T_{2}\frac{V_{3}}{V_{2}} =819{,}45\cdot\frac{12}{5}=1\,966{,}68\\ \mathrm{K}, \quad \Delta T_{A2}=T_{3}-T_{2}=1\,147{,}23\\ \mathrm{K}.
Portanto
\Delta U_{A2}=n\,C_{V}\,\Delta T_{A2} =0{,}223\cdot\Bigl(\tfrac{3}{2}R\Bigr)\cdot1\,147{,}23 \approx3\,192\\ \mathrm{J},
Q_{A2}=\Delta U_{A2}+W_{A2}\approx3\,192+2\,127=5\,319\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Somando as duas etapas do processo A:
W_{A}=W_{A1}+W_{A2}=0+2\,127=2\,127\\ \mathrm{J},
\Delta U_{A}=\Delta U_{A1}+\Delta U_{A2} =1\,521+3\,192=4\,713\\ \mathrm{J},
Q_{A}=Q_{A1}+Q_{A2} =1\,521+5\,319=6\,840\\ \mathrm{J}.

Passo 7

No processo B trocamos a ordem:
— Etapa B1: aquecimento a pressão constante P_{1}=1\\ \mathrm{atm} de V_{1}=5 até V_{2}'=12\\ \mathrm{L}.
— Etapa B2: aquecimento a volume constante V=12\\ \mathrm{L} de P_{2}'=1 até P_{3}'=3\\ \mathrm{atm}.

Passo 8

Etapa B1 (constante P):
W_{B1}=P_{1}(V_{2}'-V_{1}) =1{,}0\\ \mathrm{atm}\cdot(12-5)\\ \mathrm{L} =7\\ \mathrm{L\\ atm}\approx709\\ \mathrm{J}.
T_{2}'=T_{1}\frac{V_{2}'}{V_{1}} =273{,}15\cdot\frac{12}{5}=655{,}56\\ \mathrm{K}, \quad \Delta T_{B1}=382{,}41\\ \mathrm{K}.
\Delta U_{B1}=n\,C_{V}\,\Delta T_{B1} \approx0{,}223\cdot\Bigl(\tfrac{3}{2}R\Bigr)\cdot382{,}41 \approx1\,065\\ \mathrm{J},
Q_{B1}=\Delta U_{B1}+W_{B1}\approx1\,065+709=1\,774\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Etapa B2 (constante V):
W_{B2}=0.
O estado final é o mesmo de A: P_{3}'=3\\ \mathrm{atm}, V=12\\ \mathrm{L} implica
T_{3}=1\,966{,}68\\ \mathrm{K}, \quad \Delta T_{B2}=T_{3}-T_{2}'=1\,311{,}12\\ \mathrm{K}.
\Delta U_{B2}=n\,C_{V}\,\Delta T_{B2} \approx0{,}223\cdot\Bigl(\tfrac{3}{2}R\Bigr)\cdot1\,311{,}12 \approx3\,648\\ \mathrm{J},
Q_{B2}=\Delta U_{B2}\approx3\,648\\ \mathrm{J}.

Resposta

O diagrama p\times V é este:
processo A sobe verticalmente de (5\\ \mathrm{L},1\\ \mathrm{atm}) a (5,3) e depois vai horizontal até (12,3);
processo B vai horizontal de (5,1) a (12,1) e depois vertical até (12,3).
Resultados numéricos (assumindo gás monatomicamente ideal):
Para A:
W_{A}=2\,127\\ \mathrm{J}, \quad \Delta U_{A}=4\,713\\ \mathrm{J}, \quad Q_{A}=6\,840\\ \mathrm{J}.
Para B:
W_{B}=709\\ \mathrm{J}, \quad \Delta U_{B}=4\,713\\ \mathrm{J}, \quad Q_{B}=5\,422\\ \mathrm{J}.

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