A quantidade de 2,5 \mathrm{~L} de gás de hélio ( A=4 ) está no estado inicial a T_{1}=20 \mathrm{C} e a p_{1}=1,0 \mathrm{~atm}. Em um ciclo, três processos termodinâmicos ocorrem: A, expansão adiabática até triplicar de volume, B , compressão isotérmica até o volume inicial e C, aquecimento isocórico até a condição inicial. O aquecimento isocórico ocorre via contato com um reservatório à temperatura T_{1} e a compressão isotérmica ocorre via contato com um reservatório à temperatura T_{2}. (a) Desenhe o diagrama p V. (b) Encontre T_{2}, T_{3}, p_{2} e p_{3}. (c) Calcule o trabalho, o calor e a variação de energia interna em cada processo e no ciclo. (d) Calcule a variação de entropia do universo de cada processo e no ciclo.

Passo 1

O enunciado apresenta um ciclo com gás hélio monoatômico ( \gamma=5/3) que parte do estado 1 com
V_{1}=2{,}5\\ \mathrm{L},\quad T_{1}=20^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K},\quad p_{1}=1{,}0\\ \mathrm{atm}.
O ciclo faz:
A) expansão adiabática de V_{1} até V_{2}=3V_{1},
B) compressão isotérmica a uma nova temperatura T_{2} de V_{2} de volta a V_{1},
C) aquecimento isocórico em V_{1} até voltar a T_{1}.
Vamos desenhar o diagrama pV, achar T_{2},T_{3},p_{2},p_{3}, calcular trabalho, calor e variação de energia interna em cada etapa e, por fim, a variação de entropia do sistema, dos reservatórios e do universo.

Passo 2

Desenho qualitativo no plano p (vertical) versus V (horizontal):
— Ponto 1 em (V_{1},p_{1}).
— Traço curvo para baixo até o ponto 2 em (V_{2}=3V_{1},p_{2}) (adiabática).
— Reta isotérmica de 2 até 3 em (V_{3}=V_{1},p_{3}).
— Reta vertical (isocórico) de 3 até 1.

Passo 3

Calcular o número de mols na condição inicial 1 pelo gás ideal:
n=\frac{p_{1}V_{1}}{R\,T_{1}}
com p_{1}=1{,}013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}, V_{1}=2{,}5\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}, R=8{,}314\,\mathrm{J/(mol\cdot K)}, T_{1}=293\,\mathrm{K}.
Isso dá
n\approx0{,}104\\ \mathrm{mol}.
Processo A (adiabático reversível) em que TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}:
T_{2}=T_{1}\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma-1} =293\,(1/3)^{2/3}\approx141\\ \mathrm{K},
p_{2}=\frac{nR\,T_{2}}{V_{2}} =p_{1}\,(V_{1}/V_{2})^{\gamma} =p_{1}(1/3)^{5/3}\approx0{,}160\\ \mathrm{atm}.
Processo B (isotérmico a T_{2}) comprime de V_{2} para V_{3}=V_{1}, logo
T_{3}=T_{2}\approx141\\ \mathrm{K},\quad p_{3}=\frac{nR\,T_{2}}{V_{1}} =p_{2}\,\frac{V_{2}}{V_{1}} =p_{1}(1/3)^{2/3}\approx0{,}481\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Usamos a primeira lei \Delta U=Q-W com convenção W>0 quando feito pelo gás:
Processo A (adiabático):
Q_{A}=0,
W_{A}=\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\,dV =\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-\gamma} \approx197{,}5\\ \mathrm{J},
\Delta U_{A}=Q_{A}-W_{A}=-197{,}5\\ \mathrm{J}.
Processo B (isotérmico a T_{2}):
\Delta U_{B}=0,
W_{B}=nR\,T_{2}\ln\frac{V_{3}}{V_{2}} =nR\,T_{2}\ln\frac{1}{3}\approx-134\\ \mathrm{J},
Q_{B}=\Delta U_{B}+W_{B}=W_{B}\approx-134\\ \mathrm{J}.
Processo C (isocórico):
W_{C}=0,
Q_{C}=nC_{V}\,(T_{1}-T_{2}) \quad\text{com }C_{V}=\tfrac{3}{2}R,
Q_{C}\approx0{,}104\cdot\frac{3}{2}\cdot8{,}314\,(293-141)\approx197{,}2\\ \mathrm{J},
\Delta U_{C}=Q_{C}\approx197{,}2\\ \mathrm{J}.
No ciclo completo \Delta U_{\text{tot}}=0,
W_{\text{tot}}=W_{A}+W_{B}\approx197{,}5-134=63{,}5\\ \mathrm{J},
Q_{\text{tot}}=Q_{A}+Q_{B}+Q_{C}\approx0-134+197{,}2=63{,}2\\ \mathrm{J}.

Resposta

Calcular variação de entropia do sistema ( \Delta S_{\text{sys}}) e do reservatório ( \Delta S_{\text{res}}) em cada etapa. A entropia do universo é soma das duas.
Processo A (adiabático reversível):
\Delta S_{\text{sys},A}=0, \Delta S_{\text{res},A}=0, logo \Delta S_{\text{univ},A}=0.
Processo B (isotérmico a T_{2}):
\Delta S_{\text{sys},B} =nR\ln\frac{V_{3}}{V_{2}} =0{,}104\cdot8{,}314\ln\frac{1}{3}\approx-0{,}949\\ \mathrm{J/K},
\Delta S_{\text{res},B} =-\frac{Q_{B}}{T_{2}} =-\frac{-134}{141}\approx+0{,}949\\ \mathrm{J/K},
\Delta S_{\text{univ},B}=0.
Processo C (isocórico de T_{2} a T_{1}):
\Delta S_{\text{sys},C} =nC_{V}\ln\frac{T_{1}}{T_{2}} =0{,}104\cdot\frac{3}{2}\cdot8{,}314\ln\frac{293}{141}\approx0{,}951\\ \mathrm{J/K},
\Delta S_{\text{res},C} =-\frac{Q_{C}}{T_{1}} =-\frac{197{,}2}{293}\approx-0{,}674\\ \mathrm{J/K},
\Delta S_{\text{univ},C} \approx0{,}951-0{,}674=0{,}277\\ \mathrm{J/K}.
No ciclo todo:
\Delta S_{\text{sys,tot}}=0,
\Delta S_{\text{res,tot}}=\Delta S_{\text{res},B}+\Delta S_{\text{res},C}\approx0{,}275\\ \mathrm{J/K},
\Delta S_{\text{univ,tot}}\approx0{,}277\\ \mathrm{J/K}>0.

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