Questão 3: (Equação de Bernoulli) Mostre que a equação diferencial
pode ser transformada em uma EDO linear via a mudança de variáveis
. Então utilize este método para resolver
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a equação diferencial
pode ser transformada em uma equação diferencial linear usando a mudança de variável
; (ii) aplicar esse método para resolver o problema de valor inicial
Informações dadas importantes: a forma geral da equação (com
,
e expoente
), e no caso específico temos
,
e
. A solução pedida é a função
que satisfaz a EDO e a condição inicial.
Passo 2
Vamos mostrar a transformação geral. Defina a mudança de variável
Primeiro calcule a derivada
em termos de
e
. Usando a regra da potência e a regra da cadeia,
Isolando
obtemos
Agora divida a equação original por
(supondo
):
Substitua
e
. Fica
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a forma linear em
:
Comentário didático: uma EDO do tipo
é uma equação linear de primeira ordem. A mudança
elimina o termo não linear
transformando a equação original numa linear em
. Isso é a essência da transformação de Bernoulli.
Passo 3
Breve lembrança de como resolver uma EDO linear de primeira ordem. Para
usamos o fator integrante (FI)
Multiplicando a equação por
a esquerda se torna a derivada do produto
, ou seja
Integramos e isolamos
:
Esse é o procedimento padrão; vou aplicá-lo ao caso específico a seguir. Não se assuste: é só multiplicar, reconhecer a derivada do produto e integrar.
Passo 4
Aplique a transformação ao caso específico. Aqui
,
,
. Logo
Usando a relação direta
(derivando
) ou a fórmula do passo anterior, podemos dividir a equação original por
:
Como
e
, a equação fica
Multiplicando por
,
Comparando com
temos
e
.
Passo 5
Resolva a EDO linear para
com fator integrante. Calcule o FI:
Como a condição inicial está em
, podemos tomar
no intervalo que contém
. Multiplicando a equação por
obtemos
Reconhecemos a esquerda como a derivada do produto:
Integre ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Multiplicando por
,
Passo 6
Volte para
usando
. Então
Isole
:
Agora aplique a condição inicial
. Substituindo
,
Invertendo ambos os lados,
Portanto a solução particular é
Passo 7
Podemos simplificar a expressão para ficar mais bonita:
Comentário sobre domínio: a solução está bem definida para
em um intervalo contendo
onde o denominador não se anula. O denominador se anula quando
, isto é em
. Como usamos
no fator integrante e a condição inicial está em
, a solução construída é válida para
(intervalo maximal de existência que contém
). Por fim, verificação rápida: em
temos
, ok — a condição inicial é satisfeita.