Questão 3: (Equação de Bernoulli) Mostre que a equação diferencial
y^{\prime}+P(x) y=Q(x) y^{n}
pode ser transformada em uma EDO linear via a mudança de variáveis z(x)=[y(x)]^{1-n}. Então utilize este método para resolver
y^{\prime}+\frac{1}{x} y=x^{2} y^{2}, \quad y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a equação diferencial
y^{\prime}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
pode ser transformada em uma equação diferencial linear usando a mudança de variável z(x)=[y(x)]^{1-n}; (ii) aplicar esse método para resolver o problema de valor inicial
y^{\prime}+\frac{1}{x}y=x^{2}y^{2},\qquad y(1)=2.
Informações dadas importantes: a forma geral da equação (com P(x), Q(x) e expoente n), e no caso específico temos P(x)=\dfrac{1}{x}, Q(x)=x^{2} e n=2. A solução pedida é a função y(x) que satisfaz a EDO e a condição inicial.

Passo 2

Vamos mostrar a transformação geral. Defina a mudança de variável
z(x)=\bigl(y(x)\bigr)^{1-n}.
Primeiro calcule a derivada z'(x) em termos de y e y'. Usando a regra da potência e a regra da cadeia,
z'=(1-n)\,y^{-n}\,y'.
Isolando y^{-n}y' obtemos
y^{-n}y'=\frac{1}{1-n}\,z'.
Agora divida a equação original por y^{n} (supondo y\neq 0):
y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n}=Q(x).
Substitua y^{-n}y'=\dfrac{1}{1-n}z' e y^{1-n}=z. Fica
\frac{1}{1-n}z' + P(x)\,z = Q(x).
Multiplicando ambos os lados por 1-n obtemos a forma linear em z:
z' + (1-n)P(x)\,z = (1-n)Q(x).
Comentário didático: uma EDO do tipo z' + R(x)z = S(x) é uma equação linear de primeira ordem. A mudança z=y^{1-n} elimina o termo não linear y^{n} transformando a equação original numa linear em z. Isso é a essência da transformação de Bernoulli.

Passo 3

Breve lembrança de como resolver uma EDO linear de primeira ordem. Para
z' + R(x)z = S(x)
usamos o fator integrante (FI)
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int R(x)\,dx\Bigr).
Multiplicando a equação por \mu(x) a esquerda se torna a derivada do produto \bigl(\mu(x)z(x)\bigr)', ou seja
\bigl(\mu z\bigr)' = \mu S(x).
Integramos e isolamos z:
\mu z = \int \mu S(x)\,dx + C,\qquad z = \mu^{-1}\Bigl(\int \mu S(x)\,dx + C\Bigr).
Esse é o procedimento padrão; vou aplicá-lo ao caso específico a seguir. Não se assuste: é só multiplicar, reconhecer a derivada do produto e integrar.

Passo 4

Aplique a transformação ao caso específico. Aqui n=2, P(x)=\dfrac{1}{x}, Q(x)=x^{2}. Logo
z=y^{1-n}=y^{-1}=\frac{1}{y}.
Usando a relação direta z'=-\dfrac{y'}{y^{2}} (derivando z=1/y) ou a fórmula do passo anterior, podemos dividir a equação original por y^{2}:
y^{-2}y' + \frac{1}{x}y^{-1} = x^{2}.
Como y^{-2}y' = -z' e y^{-1}=z, a equação fica
- z' + \frac{1}{x}z = x^{2}.
Multiplicando por -1,
z' - \frac{1}{x}z = -x^{2}.
Comparando com z' + R(x)z = S(x) temos R(x)=-\dfrac{1}{x} e S(x)=-x^{2}.

Passo 5

Resolva a EDO linear para z com fator integrante. Calcule o FI:
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int R(x)\,dx\Bigr)=\exp\!\Bigl(\int -\frac{1}{x}\,dx\Bigr)=\exp\bigl(-\ln|x|\bigr)=\frac{1}{|x|}.
Como a condição inicial está em x=1>0, podemos tomar \mu(x)=\dfrac{1}{x} no intervalo que contém x=1. Multiplicando a equação por \dfrac{1}{x} obtemos
\frac{1}{x}z' - \frac{1}{x^{2}}z = -x.
Reconhecemos a esquerda como a derivada do produto:
\left(\frac{z}{x}\right)' = -x.
Integre ambos os lados em relação a x:
\frac{z}{x} = \int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por x,
z = Cx - \frac{x^{3}}{2}.

Passo 6

Volte para y usando z=\dfrac{1}{y}. Então
\frac{1}{y} = Cx - \frac{x^{3}}{2}.
Isole y:
y(x)=\frac{1}{Cx - \dfrac{x^{3}}{2}}.
Agora aplique a condição inicial y(1)=2. Substituindo x=1,
2 = \frac{1}{C\cdot 1 - \dfrac{1^{3}}{2}} = \frac{1}{C - \tfrac{1}{2}}.
Invertendo ambos os lados,
\frac{1}{2} = C - \frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad C=1.
Portanto a solução particular é
\frac{1}{y} = x - \frac{x^{3}}{2}\quad\Longrightarrow\quad y(x)=\frac{1}{x - \dfrac{x^{3}}{2}}.

Passo 7

Podemos simplificar a expressão para ficar mais bonita:
y(x)=\frac{1}{x\bigl(1-\dfrac{x^{2}}{2}\bigr)}=\frac{2}{x(2-x^{2})}.
Comentário sobre domínio: a solução está bem definida para x em um intervalo contendo 1 onde o denominador não se anula. O denominador se anula quando 2-x^{2}=0, isto é em x=\pm\sqrt{2}. Como usamos \ln|x| no fator integrante e a condição inicial está em x=1>0, a solução construída é válida para 0<x<\sqrt{2} (intervalo maximal de existência que contém 1). Por fim, verificação rápida: em x=1 temos y(1)=2/(1\cdot(2-1))=2, ok — a condição inicial é satisfeita.

Resposta

y(x)=\frac{2}{x(2-x^{2})}

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