Um gás ideal com n moles e de coeficiente Upsilon que se encontra a temperatura T0 e ocupa um volume V0 sofre uma expansão isotérmica e seu volume passa a ser igual a V1. Em seguida é isolado termicamente e se expande adiabaticamente até seu volume ser igual a V2.
Calcule a temperatura final do gás.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gás ideal com $ n $ mols e coeficiente $ \Upsilon $. Ele começa na temperatura $ T_0 $ e ocupa um volume $ V_0 $. Primeiro, ele se expande isotermicamente até o volume $ V_1 $. Depois, é isolado termicamente e se expande adiabaticamente até $ V_2 $. Nosso objetivo é descobrir qual é a temperatura final do gás depois dessas expansões. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais e entender os processos isotérmico e adiabático.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a expansão isotérmica, que é uma expansão a temperatura constante. Quando um gás se expande isotermicamente, a temperatura não muda, ou seja, $ T = T_0 $. A equação que usamos aqui é a lei dos gases ideais:
T = T0
Como a temperatura $ T $ é constante, se o volume aumenta de $ V_0 $ para $ V_1 $, a pressão $ P $ deve diminuir para manter o produto $ PV $ constante. Mas, como queremos a temperatura final após todo o processo, vamos seguir em frente.

Passo 3

Agora que o gás está em $ V_1 $ e $ T_0 V1 ãáãáãá Q = 0 $), e a relação entre pressão e volume é dada por:
T0
Além disso, a temperatura no processo adiabático está relacionada ao volume pela equação:
Q = 0
Vamos chamar a temperatura final de $ T_f $. Como após a expansão isotérmica a temperatura era $ T_0 $, podemos escrever:
PV^Upsilon = constante
Agora, isolamos $ T_f $ para encontrar a temperatura final:
TV^Upsilon-1 = constante

Resposta

A temperatura final do gás após as expansões é:
Tf = T0 ( V1V2 )^Upsilon-1

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