Um gás ideal passa por uma expansão adiabática quase-estática em que seu volume é duplicado. Podemos subdividir esse processo em duas partes, sendo que, em cada uma, a variação do volume é metade da variação total. É correto afirmar que:
a. a variação da temperatura do gás é a mesma em cada metade do processo.
b. as variações de pressão e temperatura ao final do processo não dependem da composição química do gás.
c. a pressão do gás é reduzida pela metade após o volume ser duplicado.
d. a variação da pressão é maior na primeira metade do processo do que na segunda.
e. o trabalho realizado pelo gás é o mesmo em cada metade do processo.
Passo 1
O enunciado dá um gás ideal que sofre uma expansão adiabática quase-estática (reversível) em que o volume é duplicado. Ele subdivide o processo em duas partes iguais em termos da variação do volume (cada metade corresponde a metade da variação total do volume). As perguntas implícitas são: quais das afirmativas (a)–(e) são corretas? Dados e informações relevantes extraídas do enunciado:
Cada metade do processo corresponde a aumentar o volume em
, portanto o volume após a primeira metade (chamo de
) é
O processo é adiabático quase-estático (reversível) e o gás é ideal. Não há outras informações numéricas (por ex., valor de
); devemos usar as relações gerais do processo adiabático reversível.
Passo 2
Relembre as fórmulas fundamentais para um processo adiabático reversível de um gás ideal e o significado das constantes:
-
é a razão de capacidades térmicas molares à pressão e volume constantes:
e depende da composição do gás (por exemplo,
para gás monoatômico,
para diatômicos na faixa usual).
- Para adiabático reversível vale a relação de Poisson:
e também
Aqui
é a pressão,
o volume e
a temperatura. Essas fórmulas vêm da combinação da primeira lei da termodinâmica para processo adiabático (
) com a equação de estado
. Elas são as ferramentas principais para comparar
e
em diferentes volumes ao longo do processo.
Passo 3
Expresse as dependências explícitas de
e
com
usando as constantes:
- Da relação
obtemos
- Da relação
obtemos
Em particular, entre estados inicial
e final
valem as relações
Note que ambas dependem explicitamente de
, e portanto da composição do gás.
Passo 4
Analiso a afirmativa (a): “a variação da temperatura do gás é a mesma em cada metade do processo.”
Escrevo as variações de temperatura nas duas metades:
Para que
seria necessário
ou seja
. Isso só ocorreria em casos especiais (por exemplo se
, isto é
, o que corresponderia a processo isoterma/idealizado que não é o caso real de um gás ideal com
). Em geral, com
, a função
não é linear, logo os incrementos não são iguais. Um exemplo numérico típico (
,
) dá
portanto
e
, diferentes. Conclusão: (a) é falsa.
Passo 5
Analiso a afirmativa (b): “as variações de pressão e temperatura ao final do processo não dependem da composição química do gás.”
Use as relações entre estados iniciais e finais já escritas:
Ambas dependem explicitamente de
. Como
varia com a composição do gás, as variações de
e
ao final dependem da composição. Conclusão: (b) é falsa.
Passo 6
Analiso a afirmativa (c): “a pressão do gás é reduzida pela metade após o volume ser duplicado.”
Se a pressão caísse pela metade ao dobrar o volume, teríamos
. Mas para adiabático reversível vale
Isto só é igual a
se
, ou seja se
. Novamente, para um gás ideal real
, portanto
será menor que
(porque
quando
). Observação: o caso em que
cai pela metade é o processo isotérmico (
), não o adiabático. Conclusão: (c) é falsa.
Passo 7
Analiso a afirmativa (d): “a variação da pressão é maior na primeira metade do processo do que na segunda.”
Calcule as pressões nos três pontos usando
:
As variações (quedas) de pressão são
Comparo as magnitudes: quero ver se
, ou equivalentemente
Note que a função
tem segunda derivada positiva (para
):
ou seja
é convexa. Para uma função convexa vale a desigualdade do ponto médio:
Isso implica exatamente
, isto é, a queda absoluta de pressão na primeira metade é maior ou igual à da segunda; como a função não é linear, a desigualdade é estrita. Um exemplo numérico (
) dá claramente
. Conclusão: (d) é verdadeira.
Passo 8
Analiso a afirmativa (e): “o trabalho realizado pelo gás é o mesmo em cada metade do processo.”
O trabalho realizado reversivelmente ao longo de um trecho adiabático é
Para as duas metades temos
Novamente, a dependência é pela potência
, função não linear em
quando
. Portanto, em geral
. Exemplo numérico com
,
,
,
fornece
e
diferentes (valores absolutos diferentes). Conclusão: (e) é falsa.
Resposta
(d)