Um gás ideal passa por uma expansão adiabática quase-estática em que seu volume é duplicado. Podemos subdividir esse processo em duas partes, sendo que, em cada uma, a variação do volume é metade da variação total. É correto afirmar que:
\square a. a variação da temperatura do gás é a mesma em cada metade do processo.
\square b. as variações de pressão e temperatura ao final do processo não dependem da composição química do gás.
\square c. a pressão do gás é reduzida pela metade após o volume ser duplicado.
\square d. a variação da pressão é maior na primeira metade do processo do que na segunda.
\square e. o trabalho realizado pelo gás é o mesmo em cada metade do processo.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal que sofre uma expansão adiabática quase-estática (reversível) em que o volume é duplicado. Ele subdivide o processo em duas partes iguais em termos da variação do volume (cada metade corresponde a metade da variação total do volume). As perguntas implícitas são: quais das afirmativas (a)–(e) são corretas? Dados e informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Volume inicial: }V_i,\qquad \text{Volume final: }V_f=2V_i.
Cada metade do processo corresponde a aumentar o volume em \Delta V/2, portanto o volume após a primeira metade (chamo de V_m) é
V_m=V_i+\frac{V_f-V_i}{2}=V_i+\frac{V_i}{2}=\tfrac{3}{2}V_i.
O processo é adiabático quase-estático (reversível) e o gás é ideal. Não há outras informações numéricas (por ex., valor de \gamma); devemos usar as relações gerais do processo adiabático reversível.

Passo 2

Relembre as fórmulas fundamentais para um processo adiabático reversível de um gás ideal e o significado das constantes:
  • \gamma é a razão de capacidades térmicas molares à pressão e volume constantes:
\gamma=\frac{C_p}{C_v},
e depende da composição do gás (por exemplo, \gamma\approx 1,67 para gás monoatômico, \gamma\approx 1,4 para diatômicos na faixa usual).
  • Para adiabático reversível vale a relação de Poisson:
pV^{\gamma}=\text{const}
e também
TV^{\gamma-1}=\text{const}.
Aqui p é a pressão, V o volume e T a temperatura. Essas fórmulas vêm da combinação da primeira lei da termodinâmica para processo adiabático ( dQ=0) com a equação de estado pV=nRT. Elas são as ferramentas principais para comparar p e T em diferentes volumes ao longo do processo.

Passo 3

Expresse as dependências explícitas de p e T com V usando as constantes:
  • Da relação pV^{\gamma}=\text{const}=C obtemos
p(V)=C\,V^{-\gamma}.
  • Da relação TV^{\gamma-1}=\text{const}=K obtemos
T(V)=K\,V^{\,1-\gamma}.
Em particular, entre estados inicial (p_i,T_i,V_i) e final (p_f,T_f,V_f) valem as relações
p_f=p_i\Big(\frac{V_i}{V_f}\Big)^{\gamma},\qquad T_f=T_i\Big(\frac{V_i}{V_f}\Big)^{\gamma-1}.
Note que ambas dependem explicitamente de \gamma, e portanto da composição do gás.

Passo 4

Analiso a afirmativa (a): “a variação da temperatura do gás é a mesma em cada metade do processo.”
Escrevo as variações de temperatura nas duas metades:
\Delta T_1=T(V_m)-T(V_i)=K\big(V_m^{\,1-\gamma}-V_i^{\,1-\gamma}\big),
\Delta T_2=T(V_f)-T(V_m)=K\big(V_f^{\,1-\gamma}-V_m^{\,1-\gamma}\big).
Para que \Delta T_1=\Delta T_2 seria necessário
V_m^{\,1-\gamma}-V_i^{\,1-\gamma}=V_f^{\,1-\gamma}-V_m^{\,1-\gamma},
ou seja 2V_m^{\,1-\gamma}=V_i^{\,1-\gamma}+V_f^{\,1-\gamma}. Isso só ocorreria em casos especiais (por exemplo se 1-\gamma=0, isto é \gamma=1, o que corresponderia a processo isoterma/idealizado que não é o caso real de um gás ideal com \gamma>1). Em geral, com \gamma>1, a função V^{\,1-\gamma} não é linear, logo os incrementos não são iguais. Um exemplo numérico típico ( \gamma=1{,}4, V_i=1) dá
T(V_i)\propto 1^{\, -0{,}4}=1,\quad T(V_m)\propto (1{,}5)^{-0{,}4}\approx0{,}85,\quad T(V_f)\propto 2^{-0{,}4}\approx0{,}76,
portanto |\Delta T_1|\approx0{,}15 e |\Delta T_2|\approx0{,}09, diferentes. Conclusão: (a) é falsa.

Passo 5

Analiso a afirmativa (b): “as variações de pressão e temperatura ao final do processo não dependem da composição química do gás.”
Use as relações entre estados iniciais e finais já escritas:
p_f=p_i\Big(\frac{V_i}{V_f}\Big)^{\gamma}=p_i\,(1/2)^{\gamma},
T_f=T_i\Big(\frac{V_i}{V_f}\Big)^{\gamma-1}=T_i\,(1/2)^{\gamma-1}.
Ambas dependem explicitamente de \gamma. Como \gamma varia com a composição do gás, as variações de p e T ao final dependem da composição. Conclusão: (b) é falsa.

Passo 6

Analiso a afirmativa (c): “a pressão do gás é reduzida pela metade após o volume ser duplicado.”
Se a pressão caísse pela metade ao dobrar o volume, teríamos p_f=\tfrac{1}{2}p_i. Mas para adiabático reversível vale
p_f=p_i(1/2)^{\gamma}.
Isto só é igual a \tfrac{1}{2}p_i se (1/2)^{\gamma}=1/2, ou seja se \gamma=1. Novamente, para um gás ideal real \gamma>1, portanto p_f será menor que p_i/2 (porque (1/2)^\gamma<(1/2) quando \gamma>1). Observação: o caso em que p cai pela metade é o processo isotérmico ( pV=\text{const}), não o adiabático. Conclusão: (c) é falsa.

Passo 7

Analiso a afirmativa (d): “a variação da pressão é maior na primeira metade do processo do que na segunda.”
Calcule as pressões nos três pontos usando p(V)=C V^{-\gamma}:
p_i=CV_i^{-\gamma},\qquad p_m=CV_m^{-\gamma}=C(\tfrac{3}{2}V_i)^{-\gamma}=p_i\big(\tfrac{3}{2}\big)^{-\gamma},
p_f=CV_f^{-\gamma}=p_i(2)^{-\gamma}.
As variações (quedas) de pressão são
\Delta p_1=p_m-p_i=p_i\Big(\big(\tfrac{3}{2}\big)^{-\gamma}-1\Big)\quad(\text{negativo}),
\Delta p_2=p_f-p_m=p_i\Big(2^{-\gamma}-\big(\tfrac{3}{2}\big)^{-\gamma}\Big)\quad(\text{negativo}).
Comparo as magnitudes: quero ver se |\Delta p_1|>|\Delta p_2|, ou equivalentemente
p_i-p_m>p_m-p_f\quad\Longleftrightarrow\quad p_i+p_f>2p_m.
Note que a função p(V)=C V^{-\gamma} tem segunda derivada positiva (para \gamma>1):
\frac{d^2p}{dV^2}=\gamma(\gamma+1)C V^{-\gamma-2}>0,
ou seja p(V) é convexa. Para uma função convexa vale a desigualdade do ponto médio:
p(V_m)\le\frac{p(V_i)+p(V_f)}{2}\quad\Longrightarrow\quad 2p_m\le p_i+p_f.
Isso implica exatamente p_i-p_m\ge p_m-p_f, isto é, a queda absoluta de pressão na primeira metade é maior ou igual à da segunda; como a função não é linear, a desigualdade é estrita. Um exemplo numérico ( \gamma=1{,}4) dá claramente |\Delta p_1|>|\Delta p_2|. Conclusão: (d) é verdadeira.

Passo 8

Analiso a afirmativa (e): “o trabalho realizado pelo gás é o mesmo em cada metade do processo.”
O trabalho realizado reversivelmente ao longo de um trecho adiabático é
W=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV=\int_{V_i}^{V_f} C V^{-\gamma}\,dV = \frac{C}{1-\gamma}\big(V_f^{\,1-\gamma}-V_i^{\,1-\gamma}\big).
Para as duas metades temos
W_1=\frac{C}{1-\gamma}\big(V_m^{\,1-\gamma}-V_i^{\,1-\gamma}\big), \qquad W_2=\frac{C}{1-\gamma}\big(V_f^{\,1-\gamma}-V_m^{\,1-\gamma}\big).
Novamente, a dependência é pela potência V^{\,1-\gamma}, função não linear em V quando \gamma\neq1. Portanto, em geral W_1\neq W_2. Exemplo numérico com \gamma=1{,}4, V_i=1, V_m=1{,}5, V_f=2 fornece W_1 e W_2 diferentes (valores absolutos diferentes). Conclusão: (e) é falsa.

Resposta

(d)

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